§ 5. Вынужденные колебания

Определения и обозначения

Вынужденные колебания — колебания системы под действием внешней периодически изменяющейся силы. Такая сила может возникать при повторяющихся толчках качелей, работе двигателя или изменении электрического тока. Понятие помогает отличать колебания, которые система поддерживает сама, от тех, для которых постоянно нужен внешний источник воздействия.

Вынуждающая сила — периодическая внешняя сила, которая поддерживает колебания системы и передаёт ей энергию. Например, толчок в нужный момент добавляет качелям энергию, потерянную из-за трения. Это понятие нужно, чтобы проследить, откуда берётся энергия установившихся колебаний.

Резонанс — резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при совпадении или сближении частоты вынуждающей силы с собственной частотой системы. Собственная частота — частота свободных колебаний системы после начального отклонения. Понятие резонанса объясняет, почему одинаковое внешнее воздействие может вызвать слабые колебания в одном случае и очень сильные — в другом.

Резонансная частота — частота внешнего воздействия, при которой амплитуда вынужденных колебаний достигает наибольшего значения. В простых случаях она близка к собственной частоте системы, хотя трение может смещать максимум. Это понятие позволяет определить, при какой частоте воздействие особенно эффективно и когда следует опасаться больших колебаний.

Как это устроено

Если периодически толкать систему, внешняя сила снова и снова отклоняет её от положения равновесия. При каждом воздействии часть энергии поступает в систему, поэтому колебания продолжаются, пока сила действует. Без такого притока энергии трение и сопротивление среды превращали бы механическую энергию в тепло, а амплитуда свободных колебаний постепенно уменьшалась бы.

Сначала движение может быть сложным: собственные колебания системы накладываются на колебания, вызванные внешней силой. Этот переходный процесс постепенно затухает из-за потерь энергии. Затем остаются установившиеся колебания, ритм которых задаёт вынуждающая сила: за каждый её период система совершает один цикл движения, поэтому частоты совпадают.

Амплитуда зависит от того, насколько частота внешнего воздействия отличается от собственной частоты системы. Если частоты далеки, сила действует в разные моменты цикла и не каждый раз эффективно увеличивает размах движения. При приближении частот воздействие становится результативнее, и амплитуда растёт; при удалении от области резонанса она снова уменьшается.

При близких частотах сила часто действует в подходящий момент — например, ускоряет систему в направлении её движения. Энергия от отдельных воздействий накапливается, поэтому размах колебаний увеличивается. Трение и другие потери отбирают энергию; когда поступление энергии уравновешивает потери, рост прекращается, а амплитуда остаётся конечной.

Резонанс полезен, когда нужно усилить звук: корпус музыкального инструмента начинает колебаться вместе со струной или воздушным столбом и увеличивает громкость. Но сходное накопление энергии может повредить мост или механизм, если частота повторяющихся воздействий близка к собственной частоте конструкции. Выраженность резонанса зависит от потерь энергии и свойств системы: при слабом трении пик амплитуды обычно выше и уже, а при сильном — ниже и шире.

Свободные и вынужденные колебания

Сравнивайте сначала причину и источник энергии: они помогают понять, свободно или вынужденно движется система. Затем проверьте частоту: в установившемся режиме у вынужденных колебаний её задаёт внешняя сила. Строки об амплитуде и трении показывают, почему одинаковое воздействие может приводить к разным результатам.

Разбор задач

Частота колебаний груза

На пружине подвешен груз, на который периодически действует внешняя сила. Нужно определить частоту движения груза после переходного процесса. Собственная частота пружинного маятника не указана, но для ответа она не требуется.

1. Определяем тип движения: груз колеблется под действием периодической внешней силы, значит, колебания вынужденные.
2. Учитываем, что переходный процесс завершился: собственные колебания, возникающие в начале, уже не определяют установившийся ритм.
3. В установившемся режиме частота груза равна частоте вынуждающей силы. Поэтому нужно узнать частоту внешнего воздействия, а не вычислять собственную частоту пружинной системы.

Ответ: груз будет колебаться с частотой внешней силы. Если известна только собственная частота груза, численное значение частоты установившихся колебаний найти нельзя. Для решения достаточно помнить, что именно периодическое внешнее воздействие задаёт ритм.

Толчки для маятника

Собственная частота маятника равна 2 Гц, а периодические толчки имеют частоты 1, 2 и 4 Гц. Требуется сравнить амплитуды колебаний при этих воздействиях. Наибольшую амплитуду следует ожидать вблизи резонанса.

1. Записываем собственную частоту: 2 Гц.
2. Сравниваем с ней частоту каждого воздействия: 1 и 4 Гц отличаются от собственной частоты, а 2 Гц совпадает с ней.
3. При совпадении частот толчки наиболее согласованы с движением маятника и эффективнее передают ему энергию. Следовательно, в этом случае амплитуда будет наибольшей.

Ответ: наибольшая амплитуда ожидается при частоте толчков 2 Гц. Это резонансный случай, поскольку частота внешней силы совпадает с собственной частотой маятника. В реальности величину размаха ограничивают потери энергии.

Опасные толчки механизма

Механизм испытывает периодические толчки с частотой, близкой к частоте его собственных колебаний. Нужно объяснить, почему размах может стать опасным, и предложить способ его уменьшить. Численные расчёты не нужны, поскольку даны качественные условия резонанса.

1. Сопоставляем частоты: они близки, значит, система находится в области резонанса.
2. При каждом толчке сила может добавлять энергию в подходящий момент. Энергия накапливается, и амплитуда способна вырасти настолько, что детали начнут деформироваться или разрушаться.
3. Уменьшаем воздействие: повышаем трение или устанавливаем демпфер, который отводит энергию колебаний. Другой способ — изменить частоту толчков или собственную частоту механизма, чтобы они не совпадали.

Ответ: амплитуда может стать опасной из-за резонансного накопления энергии. Её уменьшают демпфированием или изменением частоты воздействия либо собственных колебаний. Выбор способа зависит от устройства механизма и возможности изменить режим его работы.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что частота вынужденных колебаний всегда равна собственной частоте системы. Так думают, потому что собственная частота часто используется при описании колебаний, но в установившемся вынужденном режиме ритм задаёт внешняя сила. Проверьте себя: найдите, какая сила действует периодически, и сравните её частоту с частотой движения.

Ошибка: называть резонансом любое увеличение амплитуды. Амплитуда может меняться по другим причинам, например, из-за усиления внешней силы, но резонанс связан именно с близостью частот. Чтобы проверить ответ, сравните частоту воздействия с собственной частотой системы.

Ошибка: утверждать, что при резонансе амплитуда становится бесконечной. Такое рассуждение не учитывает трение и потери энергии, неизбежные в реальных системах. Проверьте себя вопросом: откуда система получает энергию и куда она уходит при каждом цикле?

Ошибка: считать резонанс всегда полезным или всегда вредным. Его действие зависит от ситуации: усиление звука желательно, а чрезмерные колебания моста опасны. Оценивайте не само наличие резонанса, а допустимость возникающей амплитуды и последствия для системы.

Связь с другими темами

Для изучения вынужденных колебаний нужны понятия периода, частоты, амплитуды и собственной частоты, а также представление о действии силы трения. Тема опирается на свободные колебания пружинного и математического маятников: по ним можно понять, что означает собственная частота. Резонанс пригодится при изучении звука и переменного тока, а также при объяснении работы музыкальных инструментов и поведения сооружений.

Что запомнить

• Вынужденные колебания поддерживаются периодической внешней силой.
• В установившемся режиме частота колебаний равна частоте вынуждающей силы.
• Амплитуда зависит от частоты внешнего воздействия.
• Резонанс возникает, когда частота воздействия близка к собственной частоте системы.
• Трение и другие потери ограничивают амплитуду при резонансе.
• Резонанс может приносить пользу или приводить к разрушительным последствиям.