§ 6. Резистор, конденсатор, катушка индуктивности в цепи переменного тока

Определения и обозначения

Активное сопротивление — сопротивление резистора в цепи переменного тока, обозначаемое R. Напряжение и сила тока на резисторе изменяются в одинаковых фазах: максимумы и нули приходятся на одни и те же моменты. Это позволяет применять закон Ома к мгновенным и действующим значениям.

Ёмкостное сопротивление X_C характеризует противодействие конденсатора переменному току и вычисляется по формуле X_C = 1/(ωC). Здесь C — электрическая ёмкость, а ω — циклическая частота, равная 2πf. Величина показывает, насколько конденсатор ограничивает ток при заданной частоте.

Индуктивное сопротивление X_L — противодействие катушки переменному току, определяемое формулой X_L = ωL. В ней L — индуктивность катушки, а ω — циклическая частота. По этому сопротивлению можно оценить, насколько сильно катушка ограничивает ток при его изменении.

Сдвиг фаз — разность фаз колебаний напряжения и силы тока. В конденсаторе ток опережает напряжение на четверть периода, а в катушке отстаёт на четверть периода. Понимание сдвига помогает определить, как ведёт себя элемент и передаётся ли энергия от источника в среднем.

Как это устроено

На резисторе переменное напряжение создаёт переменный ток, и в каждый момент выполняется закон Ома: i = u/R. Если напряжение стало вдвое больше, ток в тот же момент тоже стал вдвое больше; знак величин также совпадает. Поэтому графики напряжения и тока имеют одинаковую форму и достигают максимумов одновременно. У идеального резистора нет свойства накапливать энергию, которое могло бы задерживать изменение тока.

В конденсаторе ток связан не с величиной заряда, а с быстротой его изменения: i = dq/dt. При синусоидальном напряжении заряд меняется вслед за напряжением, но скорость изменения заряда максимальна в момент, когда напряжение проходит через ноль. Поэтому ток опережает напряжение на четверть периода. Если напряжение имеет амплитуду Uₘ, из связи q = Cu следует амплитуда тока Iₘ = ωCUₘ; значит, X_C = Uₘ/Iₘ = 1/(ωC). При увеличении частоты заряд успевает меняться чаще, ток при том же напряжении возрастает, а ёмкостное сопротивление уменьшается.

Катушка противодействует изменению тока благодаря ЭДС самоиндукции: при изменении тока возникает напряжение, направленное против этого изменения. Чем быстрее меняется ток, тем сильнее это противодействие, поэтому ток не успевает следовать за напряжением и отстаёт от него на четверть периода. Для синусоидального тока амплитуда напряжения на катушке равна Uₘ = ωLIₘ, откуда X_L = Uₘ/Iₘ = ωL. Чем больше частота или индуктивность, тем больше напряжение, необходимое для изменения тока, и тем выше индуктивное сопротивление.

При изменении частоты свойства элементов расходятся. У идеального резистора R не зависит от частоты, потому что его сопротивление связано с материалом и геометрией проводника, а не с темпом изменения тока. У конденсатора X_C уменьшается с ростом частоты, а у катушки X_L увеличивается. Следовательно, одна и та же цепь может по-разному пропускать токи разных частот.

Резистор преобразует электрическую энергию главным образом в тепло, поэтому источник в среднем передаёт ему энергию. Идеальный конденсатор запасает энергию электрического поля при зарядке и отдаёт её при разрядке. Катушка запасает энергию магнитного поля при нарастании тока и возвращает её, когда ток уменьшается. За полный период конденсатор и катушка возвращают столько энергии, сколько получили, поэтому их средняя мощность равна нулю.

Свойства элементов в цепи переменного тока

Чтобы решить, какой элемент сильнее ограничивает ток, сначала найдите его сопротивление по соответствующей формуле. Для сравнения частотных эффектов смотрите на направление зависимости X_C и X_L. Строка о фазе помогает понять, в какой момент ток достигает максимума относительно напряжения.

Разбор задач

К резистору сопротивлением 40 Ом приложено переменное напряжение с действующим значением 120 В. Найдём действующее значение силы тока. Поскольку речь идёт о резисторе, напряжение и ток совпадают по фазе, а для действующих значений подходит закон Ома. Используем R = 40 Ом и U = 120 В.

1. Запишем закон Ома для действующих значений: I = U/R.
2. Подставим данные: I = 120/40 = 3 А.
3. Проверим результат: при сопротивлении 40 Ом ток 3 А создаёт напряжение 3 · 40 = 120 В.

Ответ: действующее значение силы тока равно 3 А.

Конденсатор ёмкостью 20 мкФ включён в цепь с частотой 50 Гц. Требуется вычислить X_C. В формулу входит циклическая частота, поэтому сначала переведём герцы в радианы в секунду, а микрофарады — в фарады. Затем подставим значения в X_C = 1/(ωC).

1. Переведём ёмкость: C = 20 мкФ = 20 · 10⁻⁶ Ф.
2. Найдём циклическую частоту: ω = 2πf = 2π · 50 ≈ 314 с⁻¹.
3. Вычислим сопротивление: X_C = 1/(314 · 20 · 10⁻⁶) ≈ 159 Ом.

Ответ: ёмкостное сопротивление примерно равно 159 Ом.

Катушку L = 0,20 Гн и конденсатор C = 50 мкФ по очереди подключают к источнику частотой 100 Гц. Сравним их сопротивления, используя одинаковую циклическую частоту для обоих элементов. Важно перевести ёмкость в фарады; затем можно подставить величины в X_L = ωL и X_C = 1/(ωC). Вторая часть задачи требует рассмотреть, как формулы изменятся при росте частоты.

1. Вычислим частоту в радианах в секунду: ω = 2π · 100 ≈ 628 с⁻¹.
2. Для катушки: X_L = 628 · 0,20 ≈ 126 Ом.
3. Для конденсатора: C = 50 · 10⁻⁶ Ф, поэтому X_C = 1/(628 · 50 · 10⁻⁶) ≈ 31,8 Ом.
4. Сравним: при 100 Гц X_L примерно в четыре раза больше X_C. При увеличении частоты X_L растёт, а X_C уменьшается, поэтому разница в пользу большего сопротивления катушки увеличивается.

Ответ: X_L ≈ 126 Ом, X_C ≈ 31,8 Ом; при повышении частоты индуктивное сопротивление увеличивается, ёмкостное уменьшается.

Типичные ошибки

Ошибочно считать, что напряжение и ток совпадают по фазе на любом элементе. Это верно для резистора, а идеальные конденсатор и катушка создают сдвиг фаз. Путаница возникает, если переносить знакомое поведение резистора на всю цепь. Проверьте себя по фазовым правилам для каждого элемента.

Можно перепутать, какой сигнал опережает: в конденсаторе ток опережает напряжение, а в катушке отстаёт. Причина ошибки — попытка запомнить только наличие сдвига, не связывая его с физическим процессом. Проверьте направление по формулам: конденсатор реагирует на скорость изменения заряда, катушка противодействует изменению тока.

Неверно менять местами зависимости сопротивлений от частоты. Формула X_C = 1/(ωC) показывает обратную зависимость, а X_L = ωL — прямую. Часто ошибку допускают, запоминая названия, но не сверяя формулы. Для самопроверки увеличьте ω в каждой формуле: X_C должно уменьшиться, а X_L — вырасти.

Нельзя подставлять частоту в герцах вместо циклической частоты или оставлять ёмкость и индуктивность в несогласованных единицах. Из-за этого ответ может отличаться в десятки, миллионы раз или иметь неверный размер. Переведите f в ω = 2πf, микрофарады — в фарады, а значения индуктивности запишите в генри. Перед вычислением проверьте, что единицы согласованы с формулой.

Связь с другими темами

Для изучения переменного тока нужны закон Ома, понятия периода, частоты и циклической частоты, а также представление о синусоидальных колебаниях. Знание фаз позволяет понять, почему ток и напряжение достигают максимумов не одновременно. Формулы сопротивлений связывают свойства элементов с частотой сигнала. Эти идеи пригодятся при изучении колебательного контура и резонанса в электрической цепи. Они также помогают объяснять передачу электроэнергии переменным током.

Что запомнить

• На резисторе напряжение и ток совпадают по фазе.
• На конденсаторе ток опережает напряжение на четверть периода.
• На катушке ток отстаёт от напряжения на четверть периода.
• Ёмкостное сопротивление обратно пропорционально частоте и ёмкости.
• Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте и индуктивности.
• В идеальных конденсаторе и катушке средняя мощность за период равна нулю.