"Физика. Базовый уровень", Андрюшечкин С.М.
Свободные колебания возникают, когда систему отклоняют от равновесия, а затем предоставляют самой себе: движение поддерживают внутренние силы, например сила упругости или сила тяжести. Чтобы решать задачи о таких колебаниях, нужно различать период и частоту, правильно выбирать модель маятника и подставлять величины в единицах СИ. Экспериментально период находят по времени нескольких колебаний — так меньше влияет случайная ошибка измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Свободные колебания — движение системы после выведения из положения равновесия под действием внутренних сил. В отличие от вынужденных колебаний, их не поддерживает периодическое внешнее воздействие: начальное отклонение задаёт движение, а дальше система колеблется сама. Это различие помогает понять, какие силы и формулы нужно учитывать в задаче.
Амплитуда — наибольшее по модулю отклонение колеблющегося тела от положения равновесия. Она показывает, насколько далеко тело уходит от среднего положения, и обычно обозначается A. По амплитуде можно описать размах движения, хотя для идеальных малых колебаний период от неё не зависит.
Период — время одного полного колебания; его обозначают T и измеряют в секундах. Полное колебание заканчивается, когда система возвращается в исходное состояние движения, а не просто проходит положение равновесия. Период нужен, чтобы сравнивать быстроту колебаний разных систем.
Частота — число полных колебаний за единицу времени; её обозначают греческой буквой ν и измеряют в герцах. Один герц соответствует одному колебанию за секунду. Частота показывает, сколько циклов успевает совершить система, поэтому она связана с периодом обратной зависимостью.
В условии задачи ищите признаки начального отклонения или толчка и отсутствие периодически действующей внешней силы. Тогда речь идёт о свободных колебаниях, если систему возвращают к равновесию внутренние силы. У пружинного маятника такую силу создаёт деформированная пружина, а у математического маятника — составляющая силы тяжести вдоль траектории. Если же движение поддерживается повторяющимся внешним воздействием, колебания вынужденные.
Для пружинного маятника период малых колебаний вычисляют по формуле T = 2π√(m/k), где m — масса груза в килограммах, а k — жёсткость пружины в Н/м. Чем больше масса, тем медленнее меняется скорость груза и тем больше период. Более жёсткая пружина сильнее возвращает груз к равновесию, поэтому период становится меньше. Частоту находят как ν = 1/T.
Для математического маятника период малых колебаний равен T = 2π√(l/g), где l — длина нити, а g — ускорение свободного падения. Более длинной нити соответствует больший период, потому что движение маятника происходит медленнее. Формула применима, если нить лёгкая и нерастяжимая, груз мал по сравнению с длиной нити, а угол отклонения невелик. При больших отклонениях расчёт по этой формуле становится приближённым.
Если известно, что за время t система совершила N полных колебаний, период равен T = t/N. Частота — число колебаний за единицу времени: ν = N/t. Эти определения согласуются с формулой ν = 1/T, поэтому можно перейти от периода к частоте или наоборот. Перед вычислением проверьте, что время записано в секундах.
В эксперименте сначала решите, что именно нужно определить: например, период, массу или зависимость периода от параметров системы. Затем измерьте необходимые величины, запишите единицы и проведите несколько повторных измерений. Для периода засеките время серии колебаний и разделите его на их количество, а при повторах вычислите среднее значение. На точность влияют реакция человека при запуске секундомера, трение, сопротивление воздуха и неточность отсчёта длины или массы.
| Система или величина | Что характеризует | Формула или способ определения | Единица измерения |
|---|---|---|---|
| Пружинный маятник: период | Время полного колебания | T = 2π√(m/k) | с |
| Пружинный маятник: частота | Число колебаний за секунду | ν = 1/T = (1/2π)√(k/m) | Гц |
| Математический маятник: период | Время полного малого колебания | T = 2π√(l/g) | с |
| Период по результатам измерений | Среднее время одного колебания в серии | T = t/N | с |
| Связь периода и частоты | Обратную зависимость величин | ν = 1/T; T = 1/ν | с; Гц |
Сначала определите тип системы, затем выберите подходящую строку и проверьте, известны ли все величины для формулы. Для экспериментальных данных используйте строку T = t/N, а после нахождения периода частоту можно вычислить как ν = 1/T. Перед расчётом переведите величины в единицы СИ.
Груз массой 0,25 кг прикреплён к пружине жёсткостью 100 Н/м. Найдём период и частоту малых свободных колебаний. Здесь задана система «груз — пружина», поэтому выбираем формулу пружинного маятника. Масса уже дана в килограммах, а жёсткость — в Н/м, то есть величины записаны в СИ.
Проверка смысла результата: период меньше секунды, значит, за секунду маятник успевает совершить несколько колебаний. Ответ: T ≈ 0,314 с, ν ≈ 3,18 Гц.
Маятник длиной 1,0 м совершил 30 колебаний за 60 с. Найдём экспериментальный период и сравним его с расчётным при g = 9,8 м/с². Сначала используем измеренные время и число циклов, а затем — модель математического маятника. Такое сравнение показывает, насколько измерение согласуется с теорией.
Значения близки, поэтому результат измерения согласуется с расчётным в пределах небольшой разницы. Она может объясняться погрешностью секундомера или отклонением условий опыта от идеальной модели. Ответ: Tэксп = 2,0 с, Tрасч ≈ 2,01 с.
Измерено время 20 колебаний при массе 0,20 кг и 0,45 кг, но сами значения времени в условии не указаны. Поэтому численные периоды определить нельзя: их следует получить из результатов опыта по формуле T = t/20. Зато зависимость периодов и отношение можно установить теоретически, если жёсткость пружины не меняется.
При увеличении массы с 0,20 до 0,45 кг период должен возрасти в 1,5 раза, а не в 2,25 раза: период зависит от квадратного корня из массы. Ответ: T1 = t1/20, T2 = t2/20; ожидаемое отношение периодов равно 1,5.
Период и частота — разные величины: секунды показывают время одного колебания, герцы — число колебаний за секунду. Их нередко путают, потому что обе характеризуют быстроту движения. Проверка проста: используйте ν = 1/T; если период увеличивается, частота должна уменьшаться.
Подстановка массы в граммах или длины в сантиметрах без перевода в СИ приводит к неверному ответу, поскольку формулы рассчитаны на килограммы и метры. Ошибка часто возникает, когда единицы в условии не переписывают вместе с числом. Перед вычислением выпишите значения в СИ и проверьте размерности результата.
Нельзя применять формулу математического маятника к грузу на пружине или формулу пружинного маятника к грузу на нити. Их путают, потому что обе системы совершают колебания, но возвращающие силы и параметры у них разные. Проверьте устройство системы и убедитесь, что в формуле присутствуют заданные величины: масса и жёсткость пружины либо длина и g.
Измерение времени только одного колебания усиливает влияние реакции экспериментатора и случайной ошибки отсчёта. Чтобы избежать этого, засекайте серию полных колебаний и делите общее время на их число. Повторите опыт: если результаты сильно расходятся, проверьте старт и остановку секундомера, а затем усредните измерения.
Для решения задач нужны понятия положения равновесия, силы упругости, закона Гука, массы и ускорения свободного падения. Они помогают определить, какая сила возвращает систему и какой вид маятника описан. Свободные колебания также связаны с законом сохранения и превращения энергии: потенциальная энергия переходит в кинетическую и обратно. Навыки обработки измерений и оценки погрешности пригодятся при изучении механических и электромагнитных колебаний.
Как понять, какую формулу периода использовать — для пружинного или математического маятника?
Посмотрите, как устроена система. Если груз колеблется на пружине, используйте T = 2π√(m/k); если небольшой груз подвешен на лёгкой нерастяжимой нити, применима формула математического маятника T = 2π√(l/g) при малых колебаниях.
Почему частота равна величине, обратной периоду?
За время T система совершает одно полное колебание, поэтому за секунду она совершит 1/T колебаний. Отсюда ν = 1/T, а период можно найти по частоте: T = 1/ν.
Зависит ли период свободных колебаний от амплитуды?
В идеальных моделях пружинного маятника и математического маятника при малых колебаниях период от амплитуды не зависит. Для математического маятника это приближение верно, пока угол отклонения небольшой.
Как повысить точность измерения периода в эксперименте?
Измерьте общее время нескольких полных колебаний, а затем разделите его на их число. Повторите измерение несколько раз, используйте одинаковые начальные условия и усредните результаты.
Почему экспериментальный период может отличаться от расчётного?
Расхождение возникает из-за погрешностей измерения времени, массы, длины или жёсткости, а также из-за сопротивления воздуха и трения. Кроме того, формулы описывают идеальные модели и, например, формула математического маятника предполагает малые колебания.
§ 4. Решение расчётных и экспериментальных задач по теме «Свободные колебания»
