§ 20. Формула Томсона

Определения и обозначения

Колебательный контур — замкнутая цепь с конденсатором и катушкой индуктивности, в которой возникают электромагнитные колебания. Конденсатор обозначают ёмкостью C, а катушку — индуктивностью L. В контуре эти элементы обеспечивают накопление двух видов энергии и её переход из одного вида в другой. Понятие контура нужно, чтобы описывать колебания не отдельных деталей, а связанной электрической системы.

Период электромагнитных колебаний — время одного полного изменения состояния колебательного контура. Его обозначают T и измеряют в секундах. За один период заряд конденсатора и ток в цепи проходят полный цикл изменений и возвращаются к исходным значениям. Период помогает сравнивать, насколько быстро протекают колебания.

Собственная частота — частота свободных колебаний контура, определяемая его параметрами. Обычно её обозначают ν и измеряют в герцах: один герц соответствует одному колебанию в секунду. Частота показывает, сколько полных циклов происходит за выбранное время. Она нужна, когда требуется подобрать контур для сигнала определённой частоты.

Формула Томсона — соотношение, связывающее период свободных электромагнитных колебаний с индуктивностью катушки и ёмкостью конденсатора. В записи T = 2π√(LC) параметры L и C определяют период, а π и квадратный корень входят в математическую зависимость. Формула позволяет найти период по характеристикам деталей или определить неизвестный параметр по периоду. Её применяют для идеального контура при свободных колебаниях.

Как это устроено

Если предварительно зарядить конденсатор, между его обкладками появится электрическое поле, в котором запасена энергия. При замыкании цепи конденсатор начинает разряжаться, и по катушке идёт ток. Ток создаёт магнитное поле катушки, поэтому энергия постепенно переходит из электрического поля в магнитное. Когда конденсатор разрядился, ток и магнитное поле максимальны: именно благодаря индуктивности ток не исчезает мгновенно, а продолжает течь и перезаряжает конденсатор с противоположной полярностью.

После перезарядки ток начинает уменьшаться, магнитное поле ослабевает, а запасённая в нём энергия снова превращается в энергию электрического поля конденсатора. Затем процесс повторяется в обратном направлении. В идеальном контуре энергия не теряется на нагрев проводов или излучение, поэтому обмен продолжается периодически. В реальной цепи потери постепенно уменьшают амплитуду колебаний, но при малом сопротивлении их можно приближённо считать идеальными.

Ёмкость C показывает, какой заряд способен накопить конденсатор при заданном напряжении, а индуктивность L характеризует способность катушки поддерживать ток и магнитное поле. При большей ёмкости конденсатор может накопить больше заряда и энергии, поэтому обмен энергией протекает медленнее. Большая индуктивность сильнее препятствует быстрому изменению тока; из-за этого колебание тоже замедляется. Следовательно, увеличение любого из параметров удлиняет период, но зависимость не линейная: период растёт как квадратный корень из L или C.

Для свободных колебаний заряд конденсатора q описывается уравнением q'' + q/(LC) = 0, где q'' — вторая производная заряда по времени. Это уравнение имеет форму уравнения гармонических колебаний: q = qₘ cos(ω₀t + φ), где qₘ — амплитуда заряда, t — время, а φ — начальная фаза. Сравнение коэффициентов даёт ω₀² = 1/(LC), поэтому ω₀ = 1/√(LC). Период гармонического изменения равен 2π/ω₀; подстановка выражения для ω₀ приводит к формуле Томсона T = 2π√(LC).

Собственная частота ν показывает число колебаний в секунду, поэтому она обратна периоду: ν = 1/T. Циклическая частота ω₀ показывает скорость изменения фазы в радианах за секунду и связана с обычной частотой равенством ω₀ = 2πν. С учётом формулы Томсона получаем ω₀ = 1/√(LC), а ν = 1/(2π√(LC)). Эти записи удобны для разных задач: период используют, когда спрашивают время цикла, а частоту — когда нужно определить число колебаний за секунду.

Величины и зависимости в формуле Томсона

Сначала выберите в таблице искомую величину, затем используйте формулу в соответствующей строке или преобразуйте формулу периода. Направление зависимости помогает проверить смысл ответа: при увеличении L или C период должен возрастать, а частоты — уменьшаться. Перед подстановкой проверьте, что L выражена в генри, а C — в фарадах.

Разбор задач

Задача 1. Найти период

Контур содержит катушку индуктивностью 0,20 Гн и конденсатор ёмкостью 5,0 мкФ. Требуется найти период свободных колебаний. Известны оба параметра контура, значит, можно сразу использовать формулу Томсона. Сначала переведём ёмкость в фарады: 5,0 мкФ = 5,0·10⁻⁶ Ф.

1. Запишем формулу: T = 2π√(LC).
2. Подставим значения: T = 2π√(0,20·5,0·10⁻⁶) с.
3. Вычислим произведение под корнем: LC = 1,0·10⁻⁶, поэтому √(LC) = 1,0·10⁻³.
4. Получим T ≈ 2π·10⁻³ с ≈ 6,3·10⁻³ с.

Ответ: период свободных колебаний равен примерно 6,3 мс. Оценка результата разумна: значения L и C невелики, поэтому период получился в тысячных долях секунды. При записи ответа важно сохранить единицу времени, полученную в вычислениях.

Задача 2. Найти индуктивность

Период контура равен 4,0 мс, ёмкость — 10 мкФ, требуется найти L. Неизвестна индуктивность, поэтому выразим её из квадрата формулы Томсона: T² = 4π²LC, откуда L = T²/(4π²C). Сначала переводим данные в СИ: T = 4,0·10⁻³ с, C = 10·10⁻⁶ Ф = 1,0·10⁻⁵ Ф.

1. Подставим значения: L = (4,0·10⁻³)²/(4π²·1,0·10⁻⁵).
2. Вычислим числитель: T² = 16·10⁻⁶ с².
3. Знаменатель приблизительно равен 3,95·10⁻⁴, поэтому L ≈ 0,0405 Гн.
4. Округлим результат с учётом точности исходных данных: L ≈ 0,041 Гн.

Ответ: индуктивность катушки приблизительно равна 0,041 Гн, или 41 мГн. При извлечении корня или преобразовании формулы важно не потерять множитель 4π². Проверить результат можно подстановкой L и C обратно в формулу периода.

Задача 3. Изменение ёмкости

Ёмкость увеличили в 9 раз, а катушку оставили прежней. Нужно определить, во сколько раз изменятся период и собственная частота. Поскольку T = 2π√(LC), при постоянной L период пропорционален √C. Частота обратно пропорциональна периоду, поэтому изменение периода сразу подскажет изменение ν.

1. Обозначим начальную ёмкость C, а новую — C₁ = 9C.
2. Отношение периодов: T₁/T = √(C₁/C) = √9 = 3.
3. Значит, новый период втрое больше исходного.
4. Так как ν = 1/T, отношение частот ν₁/ν = T/T₁ = 1/3.

Ответ: период увеличится в 3 раза, а собственная частота уменьшится в 3 раза. Здесь нельзя переносить множитель 9 из ёмкости напрямую на период: в формуле стоит квадратный корень. Проверка по обратной связи ν = 1/T подтверждает, что частота меняется в противоположную сторону.

Типичные ошибки

Подстановка микрофарад или миллигенри без перевода в СИ даёт результат, отличающийся на несколько порядков. Так происходит потому, что приставки «микро» и «милли» означают множители 10⁻⁶ и 10⁻³, а не названия новых единиц для числовой подстановки. Перед расчётом запишите C в фарадах и L в генри, а после проверьте порядок величин.

Если забыть корень, период ошибочно примут равным 2πLC и решат, что он прямо пропорционален произведению LC. Причина обычно в механическом запоминании формулы без понимания её структуры. Проверьте запись: под корнем должно находиться произведение LC, а при изменении одного параметра в несколько раз период меняется в квадратный корень из этого числа раз.

Период и частоту иногда путают, записывая ν = T. Это неверно: период измеряется в секундах, а частота — в герцах, и они взаимно обратны: ν = 1/T. Проверка единиц помогает заметить ошибку, поскольку герц равен с⁻¹.

Формулу Томсона могут применять к вынужденным колебаниям или к любому реальному контуру без оговорок. Однако она описывает собственные свободные колебания идеального контура, а сопротивление в реальной цепи вызывает потери и затухание. Уточните условия задачи: если заметным сопротивлением нельзя пренебречь, простая формула даёт лишь приближение.

Связь с другими темами

Для понимания формулы Томсона нужны знания об электрической ёмкости конденсатора и индуктивности катушки: они показывают, какие параметры задают свойства контура. Также важно представлять обмен энергией электрического и магнитного полей, иначе непонятно, откуда возникают периодические изменения заряда и тока. Формула связывает эти понятия с характеристиками колебаний — периодом и частотой. Её используют при расчёте колебательных контуров, в частности для настройки радиоприёмника на нужную частоту.

Что запомнить

• Период свободных колебаний идеального контура задаётся формулой Томсона: T = 2π√(LC).
• Период увеличивается при увеличении ёмкости или индуктивности.
• Собственная частота связана с периодом равенством ν = 1/T.
• Циклическая частота контура равна ω₀ = 1/√(LC).
• Перед вычислениями значения L и C переводят в единицы СИ.
• Формула Томсона применима к свободным колебаниям идеального колебательного контура.