§ 2.3. Формула Томсона

Определения и обозначения

Колебательный контур — цепь из конденсатора и катушки индуктивности, в которой возникают свободные электромагнитные колебания. Конденсатор накапливает энергию электрического поля, а катушка — энергию магнитного поля. Это основная модель для изучения превращений энергии в электрической цепи.

Период электромагнитных колебаний — время одного полного обмена энергией между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки. Период обозначают T и измеряют в секундах. За это время заряд, ток и энергия возвращаются к исходным значениям.

Собственная частота — частота свободных колебаний контура, определяемая только его индуктивностью и ёмкостью. Её обычно обозначают ν₀, а число колебаний за секунду измеряют в герцах. Знание собственной частоты позволяет понять, как контур будет реагировать на внешнее периодическое воздействие.

Формула Томсона — зависимость периода собственных электромагнитных колебаний от индуктивности катушки и ёмкости конденсатора: T = 2π√(LC). Она показывает, какие параметры контура определяют скорость колебательного процесса. Чем больше L или C, тем медленнее происходят колебания.

Как это устроено

Представим, что конденсатор сначала полностью заряжен, а ток в контуре равен нулю. Вся энергия сосредоточена в его электрическом поле, но напряжение вызывает ток через катушку. Катушка препятствует резкому изменению тока, поэтому энергия постепенно переходит в магнитное поле.

Когда конденсатор разряжается полностью, его электрическая энергия становится нулевой, а ток достигает максимума. Благодаря самоиндукции ток продолжает течь и перезаряжает конденсатор с противоположной полярностью. Затем магнитное поле ослабевает, а энергия снова возвращается в электрическое поле.

Заряд конденсатора меняется плавно, потому что ток равен скорости изменения заряда: I = dq/dt. При постоянном обмене энергией изменение заряда повторяет синусоидальный или косинусоидальный закон. Поэтому q = qₘ cos(ω₀t + φ), а ток получается сдвинутым по фазе на четверть периода.

Для вывода уравнения используем напряжение на конденсаторе U_C = q/C и напряжение самоиндукции катушки U_L = −L(dI/dt). Закон Кирхгофа для замкнутого контура даёт q/C + L(dI/dt) = 0. Подставляя I = dq/dt, получаем L(d²q/dt²) + q/C = 0, или d²q/dt² + q/(LC) = 0.

Это уравнение совпадает с уравнением гармонического осциллятора: d²q/dt² + ω₀²q = 0. Поэтому ω₀² = 1/(LC), а собственная циклическая частота равна ω₀ = 1/√(LC). Так как ω₀ = 2πν и T = 1/ν, отсюда следуют ν = 1/(2π√(LC)) и формула Томсона T = 2π√(LC).

Величины, характеризующие свободные колебания в контуре

Сначала определите, какую величину требуется найти, и выберите соответствующую строку. Для периода и частоты значения L и C обязательно переводят в генри и фарады. При проверке результата учитывайте: увеличение L или C должно увеличить T и уменьшить ν.

Разбор задач

Задача 1

Условие: определить период собственных колебаний контура с индуктивностью 2 мГн и ёмкостью 8 мкФ. Нужно получить ответ в единицах времени и не потерять множители, связанные с приставками.

1. Переведём величины в СИ: L = 2 мГн = 2·10⁻³ Гн, C = 8 мкФ = 8·10⁻⁶ Ф.
2. Подставим их в формулу Томсона: T = 2π√(LC) = 2π√(2·10⁻³·8·10⁻⁶).
3. Вычислим произведение под корнем: LC = 1,6·10⁻⁸, поэтому T ≈ 2π·1,265·10⁻⁴ с ≈ 7,96·10⁻⁴ с.

Ответ: T ≈ 0,80 мс. Малое значение периода согласуется с небольшими значениями индуктивности и ёмкости.

Задача 2

Условие: найти частоту контура, если L = 0,5 Гн, а C = 2 мкФ. Удобно сначала найти период, потому что частота связана с ним простой формулой ν = 1/T.

1. Переведём ёмкость: C = 2·10⁻⁶ Ф.
2. Найдём период: T = 2π√(0,5·2·10⁻⁶) = 2π·10⁻³ с ≈ 6,28·10⁻³ с.
3. Вычислим частоту: ν = 1/T ≈ 1/(6,28·10⁻³ с) ≈ 159 Гц.

Ответ: ν ≈ 159 Гц. Можно было сразу применить формулу ν = 1/(2π√(LC)), получив тот же результат.

Задача 3

Условие: определить, во сколько раз нужно изменить ёмкость, чтобы период увеличился в 3 раза, если индуктивность постоянна. Численные значения L и C здесь не нужны, поскольку достаточно использовать зависимость величин.

1. Запишем отношение периодов: T₂/T₁ = √(L C₂)/√(L C₁).
2. При постоянной L она сокращается, поэтому T₂/T₁ = √(C₂/C₁).
3. Подставим T₂/T₁ = 3 и возведём равенство в квадрат: C₂/C₁ = 3² = 9.

Ответ: ёмкость нужно увеличить в 9 раз. Если бы ёмкость уменьшали, период, наоборот, стал бы меньше.

Типичные ошибки

Подстановка индуктивности и ёмкости без перевода миллигенри и микрофарад в единицы СИ даёт ошибку в степенях десяти. Так происходит, потому что приставки «милли» и «микро» содержат множители 10⁻³ и 10⁻⁶. Проверяйте запись: перед вычислением должны стоять L в генри и C в фарадах.

Потеря множителя 2π возникает, когда путают циклическую частоту с обычной частотой. Для ω₀ используется формула 1/√(LC), а для периода — 2π√(LC). Самопроверка проста: произведение Tω₀ должно быть равно 2π.

Неверное изменение периода связывают с представлением, будто T прямо пропорционален L и C. На самом деле T пропорционален √(LC), поэтому увеличение одного параметра в 4 раза изменяет период только в 2 раза. Для проверки записывайте отношение величин до подстановки чисел.

Формулу Томсона иногда применяют к вынужденным колебаниям, не учитывая частоту внешнего источника. Она задаёт собственный период идеального контура, а частота вынужденных колебаний определяется генератором. Проверьте условие задачи: если указан внешний источник, различайте его частоту и собственную частоту контура.

Связь с другими темами

До изучения формулы Томсона нужны понятия периода, частоты и циклической частоты гармонических колебаний, закон Ома для цепи переменного тока и знание единиц L и C. Электромагнитный контур аналогичен механическому пружинному маятнику: индуктивность играет роль инертности, а ёмкость связана с упругими свойствами системы. Формула используется при изучении резонанса, радиоприёмников, генераторов и электромагнитных волн.

Что запомнить

• В идеальном колебательном контуре энергия периодически переходит из электрической формы в магнитную и обратно.
• Период собственных колебаний определяется формулой T = 2π√(LC).
• Чем больше индуктивность или ёмкость, тем больше период колебаний.
• Частота связана с периодом соотношением ν = 1/T.
• Циклическая частота собственных колебаний равна ω₀ = 1/√(LC).
• Формула Томсона относится к свободным колебаниям идеального контура.