§ 2.2. Процессы в колебательном контуре

Определения и обозначения

Колебательный контур — замкнутая цепь из конденсатора и катушки индуктивности. Конденсатор запасает энергию электрического поля, а катушка — энергию магнитного поля, поэтому эти элементы могут попеременно передавать энергию друг другу. Обычно ёмкость обозначают C, индуктивность — L.

Свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, напряжения и силы тока после начального возбуждения контура без внешнего периодического воздействия. Их возникновение объясняется внутренним обменом энергией между конденсатором и катушкой. Такое понятие позволяет отличать собственные колебания от колебаний, поддерживаемых генератором.

Период собственных колебаний T — время, за которое идеальный контур возвращается в то же состояние: с тем же зарядом, током и направлением их изменения. Он зависит от ёмкости конденсатора и индуктивности катушки: T = 2π√(LC). Чем больше C или L, тем медленнее происходит обмен энергией.

Собственная частота ν — число полных колебаний за единицу времени. Она связана с периодом соотношением ν = 1/T, а для идеального контура равна ν = 1/(2π√(LC)). По частоте можно определить, сколько циклов изменения тока и заряда происходит за одну секунду.

Как это устроено

Сначала конденсатор заряжают, поэтому между его обкладками возникает электрическое поле и накапливается энергия Wэ = q²/(2C). В начальный момент цепь можно замкнуть так, чтобы ток ещё не успел возникнуть: сила тока равна нулю. Вся энергия идеального контура тогда сосредоточена в конденсаторе, а катушка не имеет магнитной энергии.

После замыкания цепи конденсатор начинает разряжаться, и в проводнике появляется ток. Заряд на обкладках уменьшается, поэтому энергия электрического поля снижается, а ток усиливается. Эта энергия не исчезает: она переходит в магнитное поле катушки, энергия которого зависит от индуктивности и силы тока.

Когда конденсатор полностью разрядился, ток достигает максимума. Однако ток не прекращается мгновенно, поскольку изменение тока вызывает ЭДС самоиндукции, направленную против этого изменения. Поддерживаемый самоиндукцией ток продолжает двигаться в прежнем направлении и перезаряжает конденсатор, но уже с противоположной полярностью.

Затем ток постепенно уменьшается, а заряд по модулю возрастает, пока не достигнет максимума на противоположной обкладке. После этого процесс повторяется в обратном направлении. Заряд можно записать как q = Qₘ cos(ωt), а ток — как i = −ωQₘ sin(ωt), поэтому максимум одной величины приходится на нуль другой: их фазы сдвинуты на четверть периода. В идеальном контуре энергия сохраняется, но сопротивление превращает часть её в тепло, и амплитуды колебаний уменьшаются.

Изменение величин и энергии в идеальном колебательном контуре

Таблицу удобно читать как последовательность состояний, начиная с максимально заряженного конденсатора. Движение по строкам показывает, как заряд и ток меняются одновременно, но не достигают максимума в один момент. После последней строки цикл начинается снова с перезаряда в обратную сторону.

Разбор задач

Задача 1

Конденсатор ёмкостью 4 мкФ и катушка индуктивностью 0,25 Гн образуют идеальный контур. Найдём период и частоту собственных колебаний.

1. Переведём ёмкость в единицы СИ: C = 4 · 10⁻⁶ Ф, L = 0,25 Гн.
2. Подставим значения в формулу Томсона: T = 2π√(LC) = 2π√(0,25 · 4 · 10⁻⁶) = 2π · 10⁻³ с.
3. Получим T ≈ 6,28 · 10⁻³ с. Частота обратно пропорциональна периоду: ν = 1/T ≈ 159 Гц.

Ответ: T ≈ 6,28 мс, ν ≈ 159 Гц. Перевод в СИ обязателен, иначе результат будет неверным по масштабу.

Задача 2

Амплитуда заряда равна Qₘ = 2 мкКл, период T = 4 мс. Найдём максимальный ток и время от максимального заряда до максимального тока.

1. Для гармонических колебаний q = Qₘ cos(ωt), поэтому i = −ωQₘ sin(ωt), а максимальная сила тока Iₘ = ωQₘ.
2. Вычислим циклическую частоту: ω = 2π/T = 2π/(4 · 10⁻³) ≈ 1571 с⁻¹.
3. Тогда Iₘ ≈ 1571 · 2 · 10⁻⁶ А ≈ 3,14 · 10⁻³ А. От максимального заряда до максимального тока проходит четверть периода: Δt = T/4 = 1 мс.

Ответ: Iₘ ≈ 3,14 мА; максимальный ток появится через 1 мс. Знак тока зависит от выбранного положительного направления, а сила тока берётся по модулю.

Задача 3

В контуре известны ёмкость C, амплитуда заряда Qₘ и мгновенный заряд q. Требуется найти электрическую, полную и магнитную энергии.

1. Энергия электрического поля в данный момент определяется текущим зарядом: Wэ = q²/(2C).
2. В идеальном контуре полная энергия постоянна и равна максимальной энергии заряженного конденсатора: W = Qₘ²/(2C).
3. Оставшаяся энергия находится в магнитном поле катушки: Wм = W − Wэ = (Qₘ² − q²)/(2C).

Ответ: Wэ = q²/(2C), W = Qₘ²/(2C), Wм = (Qₘ² − q²)/(2C). Если q = Qₘ, магнитная энергия равна нулю, а при q = 0 вся энергия становится магнитной.

Типичные ошибки

Ток исчезает сразу после разряда. Так считают, потому что заряд конденсатора уже равен нулю. Но самоиндукция препятствует мгновенному изменению тока, поэтому ток продолжает течь и перезаряжает конденсатор. Проверка: в момент нулевого заряда ток должен быть максимальным.

Заряд и ток максимальны одновременно. Ошибка возникает при представлении колебаний как одного и того же процесса без учёта фаз. На самом деле максимум заряда соответствует нулевому току, а максимум тока — нулевому заряду. Проверяйте временной сдвиг: он равен T/4.

Путают частоту с периодом или неверно используют формулу Томсона. Причиной обычно становятся непереведённые микрофарады или смешение обозначений T и ν. Сначала переводите L и C в СИ, затем используйте T = 2π√(LC) и ν = 1/T. Быстрая проверка: большая ёмкость или индуктивность должны увеличивать период.

Считают полную энергию постоянной в любом контуре. Это верно только для идеальной модели без сопротивления. В реальном контуре часть энергии рассеивается в виде тепла, поэтому амплитуды заряда и тока затухают. Уточняйте в условии, сказано ли, что контур идеальный.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны знания о ёмкости конденсатора, индуктивности катушки, энергии электрического и магнитного полей, а также о самоиндукции. Колебательный контур служит основой для изучения вынужденных колебаний, резонанса и переменного тока. Обмен энергией между полями помогает понять, как формируются и распространяются электромагнитные волны.

Что запомнить

• Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивности.
• Заряд конденсатора и сила тока в идеальном контуре изменяются периодически.
• Максимуму заряда соответствует нулевой ток, а максимуму тока — нулевой заряд.
• В идеальном контуре энергия периодически переходит из электрической в магнитную и обратно.
• Период собственных колебаний определяется формулой T = 2π√(LC).
• Сопротивление вызывает потери энергии и затухание колебаний.