§ 2.1. Свободные и вынужденные электрические колебания

Определения и обозначения

Колебательный контур — замкнутая цепь из конденсатора и катушки. Конденсатор накапливает энергию электрического поля, а катушка — энергию магнитного поля. Такой контур нужен для получения и изучения электрических колебаний.

Свободные электрические колебания — изменения заряда q на конденсаторе и силы тока I после начального возбуждения контура без внешнего периодического воздействия. Источник сообщает системе начальную энергию, а дальше процесс идёт самостоятельно. Это позволяет определить собственные свойства контура.

Вынужденные электрические колебания происходят под действием внешнего периодического источника ЭДС. Источник регулярно передаёт цепи энергию и компенсирует её потери. Частота установившихся колебаний при этом задаётся внешним источником.

Резонанс — резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешнего воздействия приближается к собственной частоте системы. Яркость резонанса зависит не только от близости частот, но и от сопротивления цепи. Для описания контура используют L — индуктивность, C — ёмкость, R — сопротивление.

Как это устроено

Сначала заряженный конденсатор создаёт электрическое поле и запасает энергию. После соединения с катушкой ток начинает течь, конденсатор разряжается, а энергия электрического поля превращается в энергию магнитного поля катушки. Когда конденсатор полностью разряжен, ток максимален, но благодаря самоиндукции он продолжается и перезаряжает конденсатор.

После перезарядки ток уменьшается до нуля, а энергия снова сосредоточена в электрическом поле, только знак заряда противоположен начальному. Затем процесс повторяется в обратную сторону. Поэтому в идеальном контуре заряд и ток изменяются периодически: q = qₘ cos(ω₀t), а ток опережает заряд по фазе на четверть периода.

Собственная частота определяется тем, насколько быстро конденсатор может отдавать и принимать заряд и насколько катушка противодействует изменению тока. Для идеального контура ω₀ = 1/√LC, f₀ = 1/(2π√LC), T = 2π√LC. Большие L или C увеличивают время обмена энергией, поэтому уменьшают частоту.

В реальной цепи есть сопротивление проводников, контактов и катушки. Часть энергии электрического тока превращается во внутреннюю энергию проводников, поэтому при каждом цикле её остаётся меньше. Из-за этого амплитуда свободных колебаний постепенно уменьшается, то есть колебания затухают.

Вынуждающий источник периодически меняет напряжение и подаёт энергию в контур. В начале движения могут присутствовать переходные процессы, но после их затухания устанавливаются колебания с частотой источника, даже если она не равна собственной частоте контура. Когда эти частоты близки, передача энергии особенно эффективна и возникает резонанс.

Сравнение свободных и вынужденных электрических колебаний

Сначала определите, есть ли внешний периодический источник: это главный признак вынужденных колебаний. Затем сравните частоту процесса с собственной частотой контура и учтите потери энергии. Таблица помогает быстро отличить причину, источник энергии и характер амплитуды.

Разбор задач

Задача 1

Колебательный контур имеет L = 2,0 мГн и C = 5,0 мкФ. Найдём период и частоту собственных колебаний идеального контура.

1. Переведём единицы: L = 2,0·10⁻³ Гн, C = 5,0·10⁻⁶ Ф.
2. Вычислим произведение: LC = 1,0·10⁻⁸ с², поэтому √LC = 1,0·10⁻⁴ с.
3. Период T = 2π√LC ≈ 6,28·10⁻⁴ с.
4. Частота f = 1/T ≈ 1,59·10³ Гц.

Ответ: T ≈ 6,28·10⁻⁴ с, f ≈ 1,59 кГц. Сначала удобно найти период, а затем взять обратную величину для частоты.

Задача 2

Заряд конденсатора задан законом q = 4·10⁻⁶ cos(1000t) Кл. Требуется найти силу тока как функцию времени и её максимальное значение.

1. Используем связь тока и заряда: I = dq/dt.
2. Дифференцируем косинус: I(t) = −4·10⁻⁶·1000 sin(1000t) = −4·10⁻³ sin(1000t) А.
3. Максимальное значение модуля синуса равно единице, поэтому Iₘₐₓ = 4·10⁻³ А.

Ответ: I(t) = −4·10⁻³ sin(1000t) А, Iₘₐₓ = 4 мА. Знак показывает направление тока относительно выбранного положительного направления.

Задача 3

В последовательном RLC-контуре L = 0,10 Гн и C = 10 мкФ. Определим частоту резонанса и сравним её с частотой источника 150 Гц.

1. Переведём ёмкость: C = 10⁻⁵ Ф.
2. Найдём √LC: √(0,10·10⁻⁵) = √10⁻⁶ = 10⁻³ с.
3. Резонансная частота f₀ = 1/(2π√LC) ≈ 159 Гц.
4. Разность с частотой источника составляет около 9 Гц, поэтому 150 Гц близка к резонансной частоте.

Ответ: f₀ ≈ 159 Гц; частота 150 Гц достаточно близка к ней, поэтому резонанс возможен. Для точной оценки в реальной цепи дополнительно учитывают сопротивление.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать, что свободные колебания постоянно поддерживает внешний источник. Так думают, потому что без источника обычно невозможно начать процесс; проверить себя можно вопросом: действует ли источник периодически после начального возбуждения?

Ошибка 2. Путать собственную частоту с частотой вынуждающей ЭДС. Собственная частота задаётся L и C, а установившаяся вынужденная — генератором; нужно отдельно выписать, о какой системе идёт речь.

Ошибка 3. Забывать о затухании в реальном контуре. Потери на сопротивлении уменьшают энергию, поэтому график свободных колебаний должен иметь убывающую амплитуду.

Ошибка 4. Считать резонанс точным совпадением частот при любых условиях. На выраженность резонанса влияет сопротивление: при большем R амплитуда ниже, поэтому сравнивают не только частоты, но и потери.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны закон сохранения энергии, свойства гармонических колебаний, производная и связь I = dq/dt. Колебательный контур — электрический аналог пружинного маятника: L подобна инертности, а C — способности накапливать энергию. Дальше эти идеи применяются в цепях переменного тока, радиоприёмниках, фильтрах, генераторах и при изучении резонанса.

Что запомнить

• Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки.
• В свободных колебаниях энергия переходит между электрическим и магнитным полями.
• Собственная частота идеального контура определяется индуктивностью и ёмкостью.
• В реальном контуре свободные колебания затухают.
• Частота установившихся вынужденных колебаний равна частоте внешнего источника.
• Резонанс возникает, когда частота источника близка к собственной частоте контура.
• Чем меньше сопротивление, тем более выраженным может быть резонанс.