§ 2.4. Переменный электрический ток

Определения и обозначения

Переменный электрический ток — ток, сила и направление которого периодически изменяются со временем. В отличие от постоянного тока, он может сначала течь в одну сторону, затем в другую. Такое определение нужно, чтобы отличать переменный режим работы цепи от постоянного и описывать его повторяющиеся изменения.

Мгновенное значение силы тока — значение силы тока в выбранный момент времени, описываемое функцией i(t). Оно показывает, какой ток течёт именно сейчас, а не в среднем за большой промежуток. Эта величина нужна для построения графика и расчёта состояния цепи в каждый момент.

Амплитуда силы тока — максимальное по модулю значение переменного тока, обозначаемое Iₘ. Для синусоидального тока мгновенная сила не превышает амплитуду. По амплитуде можно понять размах колебаний и перейти к другим характеристикам тока.

Действующее значение переменного тока — значение постоянного тока, производящее такое же тепловое действие. Для синусоидального тока I = Iₘ/√2. Оно удобно в практических расчётах мощности, нагрева и потому используется как основная характеристика тока в электрических сетях.

Как это устроено

Рассмотрим рамку, вращающуюся в однородном магнитном поле и соединённую с внешней цепью. Магнитный поток через рамку зависит от угла её поворота: при равномерном вращении этот угол изменяется равномерно, а поток — по закону косинуса. ЭДС индукции определяется скоростью изменения потока, поэтому она изменяется по закону синуса и становится переменным напряжением.

Гармонический закон появляется потому, что проекция равномерного вращения на выбранное направление изменяется как синус или косинус угла. За один оборот рамка проходит одинаковые положения, поэтому ЭДС через равные промежутки времени принимает те же значения. Если сопротивление цепи постоянно, то по закону Ома сила тока повторяет изменение напряжения и также оказывается синусоидальной.

Когда рамка поворачивается дальше, знак изменения магнитного потока меняется. Поэтому ЭДС сначала направляет ток, например, по часовой стрелке, а после прохождения определённого положения — против часовой стрелки. В моменты смены направления ток проходит через ноль, а наибольшая сила достигается тогда, когда действующая ЭДС максимальна.

Синусоидальный ток записывают так: i = Iₘ sin(ωt + φ). Здесь Iₘ задаёт максимальный размах, T — время одного полного повторения, ν = 1/T — частота, а ω = 2πν — циклическая частота, то есть скорость изменения фазы в радианах за секунду. Величина φ определяет, с какого состояния начинается колебание.

За положительную полуволну ток переносит заряд в одном направлении, а за отрицательную — в противоположном. Поэтому среднее значение i за целый период равно нулю: площади положительной и отрицательной полуволн равны и имеют разные знаки. Однако нагрев проводника зависит от i², поэтому обе полуволны дают положительный вклад и тепловое действие не исчезает.

Действующее значение выбирают так, чтобы заменить переменный ток эквивалентным постоянным при расчёте нагрева. Для синусоиды усреднение квадрата тока даёт I² = Iₘ²/2, откуда I = Iₘ/√2. Поэтому шкалы обычных приборов для переменного тока обычно градуируют именно в действующих значениях.

Основные характеристики синусоидального переменного тока

В таблице собраны величины, которые описывают форму, скорость и практическое действие тока. Сначала определяйте, о какой характеристике говорится в условии, а затем выбирайте соответствующую формулу. Для перехода между амплитудой и действующим значением используйте √2 только для синусоидального сигнала.

Разбор задач

Задача 1. Сила тока изменяется по закону i = 4 sin(100πt) А. Требуется найти амплитуду, период, частоту и действующее значение. Сравним закон с общей формой и последовательно вычислим неизвестные характеристики.

1. Коэффициент перед синусом даёт амплитуду: Iₘ = 4 А.
2. Коэффициент при t — циклическая частота: ω = 100π рад/с. Поэтому ν = ω/(2π) = 50 Гц.
3. Период равен T = 1/ν = 0,02 с.
4. Действующее значение: I = Iₘ/√2 = 4/√2 = 2√2 А ≈ 2,83 А.

Ответ: Iₘ = 4 А, ν = 50 Гц, T = 0,02 с, I ≈ 2,83 А. Сначала здесь важно было распознать ω, а не принять число 100π за частоту.

Задача 2. Найдём мгновенное значение через 0,0025 с после начала колебаний, если Iₘ = 6 А и ν = 50 Гц. Начальная фаза не указана, поэтому принимаем φ = 0 и используем i = Iₘ sin(2πνt).

1. Вычисляем аргумент синуса: 2πνt = 2π · 50 · 0,0025 = π/4.
2. Подставляем значение: i = 6 sin(π/4) = 6 · √2/2 = 3√2 А.
3. В численном виде получаем i ≈ 4,24 А.

Ответ: через 0,0025 с сила тока равна примерно 4,24 А. Она положительна, поскольку в выбранный момент синус положителен.

Задача 3. Нагреватель подключён к сети с действующим напряжением 220 В и потребляет действующий ток 5 А. Найдём максимальные значения напряжения и тока, а также теплоту за время t при известном сопротивлении R. Для численного количества теплоты время и сопротивление должны быть заданы, поэтому запишем общий результат.

1. Амплитуда напряжения: Uₘ = √2U = 220√2 В ≈ 311 В.
2. Амплитуда тока: Iₘ = √2I = 5√2 А ≈ 7,07 А.
3. Средняя мощность нагревателя P = UI = I²R = U²/R.
4. За время t выделится количество теплоты Q = Pt = I²Rt = UIt.

Ответ: Uₘ ≈ 311 В, Iₘ ≈ 7,07 А, Q = I²Rt = UIt. В формуле нагрева используются действующие значения, потому что они уже учитывают усреднение теплового действия за период.

Типичные ошибки

Путают мгновенное и действующее значения. Мгновенное значение меняется каждую секунду, а действующее характеризует постоянное тепловое действие за период. Проверка: если прибор подключён к бытовой сети, его показание не обязано совпадать с пиковым значением.

Используют I = Iₘ/2. Так иногда смешивают амплитуду со средним значением тока за полупериод, но действующее значение определяется квадратом тока и равно Iₘ/√2. Проверка: для синусоиды действующее значение должно быть примерно 0,707 амплитуды.

Забывают множитель 2π. Частота ν показывает число циклов в секунду, а ω измеряется в радианах в секунду, поэтому ω = 2πν. Проверка: при ν = 50 Гц должно получаться ω = 100π рад/с, а не 50 рад/с.

Считают переменный ток бесполезным из-за нулевого среднего значения. Ноль получается при сложении противоположных направлений, но нагрев определяется средним значением i². Проверка: возведите ток в квадрат на графике — отрицательная полуволна тоже даст положительный вклад.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны закон Ома, работа и мощность тока, тепловое действие электрического тока, а также свойства синусоидальных и периодических величин. Эти знания позволяют связать формулу тока с расчётом энергии и нагрева.

Далее тема используется при изучении генераторов переменного тока, трансформаторов, цепей переменного тока и передачи электроэнергии. Понимание действующих значений особенно важно для расчётов в электрических сетях.

Переменный ток тесно связан с механическими колебаниями. Для обоих процессов применяются амплитуда, период, частота и фаза, поэтому математическая запись их движения имеет одинаковый вид.

Что запомнить

• Переменный ток периодически изменяется по величине и направлению.
• Синусоидальный ток описывается законом i = Iₘ sin(ωt + φ).
• Амплитуда — максимальное значение тока, а не показание обычного амперметра.
• Период и частота связаны соотношением T = 1/ν.
• Циклическая частота связана с частотой формулой ω = 2πν.
• Для синусоидального тока действующее значение равно амплитуде, делённой на √2.
• Нулевое среднее значение за период не означает отсутствия теплового действия.