§ 31. Переменный электрический ток

Определения и обозначения

Переменный электрический ток — ток, сила и направление которого периодически изменяются. В отличие от него, постоянный ток сохраняет направление, а в простейшей модели и постоянную силу. Это различие помогает понять, почему переменный ток описывают не одним числом, а зависимостью от времени.

Сила переменного тока — мгновенное значение силы тока i, то есть значение в выбранный момент времени. Оно определяется законом изменения тока и может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Знак показывает направление относительно условно выбранного направления тока.

Амплитуда силы тока Iₘ — наибольшее по модулю значение силы переменного тока за период. Мгновенное значение обычно меньше амплитуды и меняется со временем. Амплитуда нужна, чтобы задать размах колебаний тока.

Период T — время одного полного изменения тока, после которого его состояние повторяется; частота ν — число таких повторений за единицу времени. Период измеряют в секундах, частоту — в герцах. Они связаны формулой ν = 1/T, поэтому большему числу повторений в секунду соответствует меньший период.

Как это устроено

В цепи с переменным источником напряжение меняется со временем, а вместе с ним меняется направление электрического поля внутри проводника. Поле сообщает зарядам движение сначала в одну сторону, затем в противоположную. Поэтому сила тока не остаётся постоянной: при смене направления она проходит через нулевое значение и меняет знак.

Если изменения происходят плавно и повторяются одинаково, ток во многих случаях можно описать гармоническим законом i = Iₘ sin(ωt). Здесь i — значение тока в момент t, а синус задаёт его изменение во времени. Такая форма возникает, например, при вращении рамки в магнитном поле: проекция вращающейся величины на выбранное направление меняется по синусоиде.

В формуле Iₘ задаёт высоту максимума графика, а T — время, за которое график проходит полный цикл. Величина ω называется циклической частотой и показывает скорость изменения фазы ωt; фаза определяет, в какой точке цикла находится ток. За один период фаза увеличивается на 2π, поэтому ωT = 2π и ω = 2πν.

На графике i от времени синусоида пересекает нулевой уровень, когда ток мгновенно равен нулю; при переходе через него знак меняется. Наибольшее положительное значение равно Iₘ, а наименьшее — −Iₘ. Через время T повторяется то же состояние: одинаковы значение тока и направление его изменения, поэтому график периодичен.

Переменный ток удобно передавать на большие расстояния, потому что напряжение можно изменять с помощью трансформатора. При повышении напряжения для той же передаваемой мощности требуется меньшая сила тока, а потери на нагрев проводов уменьшаются. В бытовой сети напряжение затем понижают до подходящего для потребителей уровня; это изменение напряжения сопровождается соответствующим изменением силы тока.

Сравнение постоянного и переменного электрического тока

Сравнивайте не только форму графика, но и то, пересекает ли ток ноль и меняет ли знак. Параметры переменного тока позволяют описать его размах и скорость повторения цикла, тогда как для постоянного тока достаточно указать силу и направление.

Разбор задач

Амплитуда и период по закону тока

Сила тока изменяется по закону i = 2 sin(100πt) А. Нужно найти амплитуду и период. Сопоставим запись с общей формой i = Iₘ sin(ωt), чтобы определить, какие числа отвечают амплитуде и циклической частоте.

1. Коэффициент перед синусом равен Iₘ, значит, Iₘ = 2 А.
2. Коэффициент при t в аргументе синуса — циклическая частота: ω = 100π рад/с.
3. Используем T = 2π/ω: T = 2π/(100π) = 0,02 с.

Ответ: амплитуда равна 2 А, период — 0,02 с. Коэффициент при t нельзя принимать за частоту ν: он является циклической частотой ω.

Период и циклическая частота по частоте

Частота переменного тока равна 50 Гц. Требуется определить период и циклическую частоту. Сначала найдём длительность одного цикла, а затем переведём число циклов в секунду в изменение фазы, измеряемое в радианах за секунду.

1. Период и частота обратно пропорциональны: T = 1/ν = 1/50 с = 0,02 с.
2. Циклическая частота находится по формуле ω = 2πν.
3. Подставляем значение: ω = 2π · 50 = 100π рад/с, или примерно 314 рад/с.

Ответ: T = 0,02 с, ω = 100π рад/с. Герц показывает число циклов в секунду, а радиан в секунду — скорость изменения фазы; это связанные, но разные величины.

Мгновенное значение и изменение тока

Ток задан законом i = 0,8 sin(200πt) А. Найдём его значение при t = 0,0025 с и выясним, возрастает он или убывает в этот момент. Сначала вычислим фазу: ωt = 200π · 0,0025 = π/2.

1. Подставляем фазу в закон: i = 0,8 sin(π/2) = 0,8 А.
2. Значение совпадает с амплитудой, значит, точка находится на верхнем максимуме синусоиды.
3. Сразу после максимума ток убывает, но непосредственно в точке максимума его мгновенная скорость изменения равна нулю.

Ответ: i = 0,8 А; в данный момент ток ни не возрастает, ни не убывает мгновенно — он достигает максимума. Если сравнивать значения непосредственно до и после этого момента, после вершины ток становится меньше.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что переменный ток только меняет величину, но всегда течёт в одном направлении. Так думают, когда смотрят лишь на положительные значения силы тока и не учитывают знак. Проверьте закон или график: отрицательная часть синусоиды означает противоположное направление, а смена знака происходит при переходе через ноль.

Амплитуду иногда принимают за значение тока в любой момент. Причина в том, что Iₘ стоит перед синусом и кажется постоянной силой тока; однако синус меняется от −1 до 1. Для проверки подставьте время: мгновенное значение i зависит от фазы, а |i| не превышает Iₘ.

Период и частоту путают, потому что оба параметра описывают повторение колебаний. Но T измеряется в секундах, а ν — в герцах, то есть в обратных секундах; проверка размерности помогает не ошибиться. Убедитесь, что формула использована верно: ν = 1/T, а не ν = T.

В закон i = Iₘ sin(ωt) иногда подставляют частоту ν вместо циклической частоты ω. Тогда фаза получается неверной, потому что один цикл соответствует изменению фазы на 2π радиан. Перед подстановкой проверьте вид формулы и при необходимости вычислите ω = 2πν; аргумент синуса должен быть безразмерным.

Связь с другими темами

Для понимания переменного тока нужны понятия силы и направления тока, а также представление о периодическом движении. Синусоидальную функцию важно уметь читать: её значение повторяется через 2π по фазе, а максимумы и нули помогают находить состояние тока. Эти знания понадобятся при изучении генераторов, которые создают переменный ток, и трансформаторов, изменяющих напряжение. Они также объясняют работу цепей переменного тока и передачу электроэнергии.

Что запомнить

• Переменный ток периодически изменяет и силу, и направление.
• В простейшем случае ток меняется по синусоидальному закону: i = Iₘ sin(ωt).
• Амплитуда — максимальное по модулю значение силы тока.
• Период — время одного полного изменения тока.
• Частота равна числу периодов в секунду: ν = 1/T.
• Циклическая частота связана с частотой формулой ω = 2πν.