§ 12. Переменный электрический ток

Определения и обозначения

Переменный электрический ток — ток, который со временем изменяется по величине и периодически меняет направление. Постоянный ток сохраняет одно направление, даже если его сила не остаётся неизменной. Поэтому для переменного тока недостаточно указать одно значение: нужно знать, как оно меняется со временем. Это описание позволяет рассчитывать действие тока в электрической цепи.

Амплитуда переменного тока — наибольшее по модулю значение силы тока за период; её обозначают Iₘ. Модуль означает, что учитывается величина без знака: например, значения +Iₘ и −Iₘ соответствуют одинаковой силе, но противоположным направлениям. Амплитуда показывает максимальное отклонение тока от нуля. С ней сравнивают мгновенные значения и определяют пределы изменения тока.

Период переменного тока — время одного полного повторения изменений тока, обозначаемое T. За период ток проходит весь цикл: например, для синусоиды дважды достигает максимума по модулю и возвращается к исходному состоянию. Период измеряют в секундах. Он нужен, чтобы узнать длительность одного колебания и связать временной график с повторяющимся процессом.

Частота переменного тока — число полных колебаний за единицу времени; её обозначают греческой буквой ν. Частота и период связаны формулой ν = 1/T: чем больше период, тем меньше колебаний укладывается в секунду. Частоту измеряют в герцах, причём 1 Гц означает одно колебание за секунду. Эта величина удобна, когда нужно сравнить быстроту повторения процессов.

Как это устроено

Источник переменного напряжения создаёт ЭДС, которая периодически меняет значение и знак. ЭДС — величина, характеризующая действие источника по перемещению зарядов; вместе с напряжением она поддерживает движение зарядов во внешней цепи. Когда меняется знак ЭДС, меняется направление электрического поля, а значит, и направление движения зарядов. Поэтому ток во внешней цепи повторяет изменения источника, хотя его конкретный вид зависит также от свойств цепи.

В простейшей модели ЭДС вращающегося генератора меняется синусоидально: при вращении рамки в магнитном поле меняется магнитный поток через неё, а скорость его изменения задаёт ЭДС. Если цепь состоит только из сопротивления, закон Ома связывает напряжение и ток, поэтому они меняются синхронно по синусоидальному закону. Такой ток записывают как i = Iₘ sin(ωt), а напряжение — как u = Uₘ sin(ωt). Здесь i и u — значения в выбранный момент, а Iₘ и Uₘ — их амплитуды.

Период и частоту удобно объединить в циклической частоте: ω = 2πν = 2π/T. Она показывает, насколько быстро изменяется фаза колебания, то есть положение тока внутри повторяющегося цикла. За один период фаза проходит 2π радиан, поэтому скорость её изменения равна 2π/T. Обычная частота считает полные циклы в секунду, а циклическая частота выражает изменение фазы в радианах за секунду.

На графике синусоидального тока вертикальное отклонение показывает мгновенное значение i, а наибольшее отклонение от нуля — амплитуду Iₘ. Расстояние по горизонтали между двумя одинаковыми состояниями, например соседними максимумами, равно периоду T. Участки выше и ниже оси времени имеют разные знаки, поэтому соответствуют противоположным направлениям тока. В точках пересечения с осью ток мгновенно равен нулю, а затем меняет направление.

Чтобы найти ток или напряжение в заданный момент, можно считать значение с графика либо подставить время в формулу. Для формулы i = Iₘ sin(ωt) сначала вычисляют аргумент ωt, затем находят синус и умножают результат на амплитуду. Например, если синус равен −1, то ток равен −Iₘ и направлен против выбранного положительного направления. Для напряжения действуют так же, используя Uₘ и формулу u = Uₘ sin(ωt).

Характеристики переменного тока

При решении задачи сначала определите, какое значение требуется: мгновенное, амплитудное или временную характеристику. Затем выберите формулу из третьего столбца и проверьте единицы измерения: T выражается в секундах, ν — в герцах, ω — в радианах в секунду. Таблица также помогает не путать ток и напряжение с их амплитудами.

Разбор задач

Задача 1. Ток меняется по закону i = 4 sin(100πt) А. Найти амплитуду, циклическую частоту, частоту и период. Чтобы выделить характеристики, сравним заданную запись с общей формулой i = Iₘ sin(ωt). Амплитуда стоит перед синусом, а коэффициент при t внутри синуса является циклической частотой.

1. Сопоставляем формулы: Iₘ = 4 А, ω = 100π рад/с.
2. Находим частоту: ν = ω/(2π) = 100π/(2π) = 50 Гц.
3. Находим период: T = 1/ν = 1/50 = 0,02 с.

Ответ: Iₘ = 4 А, ω = 100π рад/с, ν = 50 Гц, T = 0,02 с. Проверка показывает, что за секунду происходит 50 колебаний, каждое длится 0,02 с. Их произведение равно единице, что согласуется с определением частоты.

Задача 2. Период переменного тока равен 0,02 с. Сколько полных колебаний произойдёт за 0,5 с? Период показывает длительность одного колебания, поэтому сначала найдём, сколько таких интервалов укладывается в секунду. Затем умножим полученную частоту на общее время наблюдения.

1. Используем обратную связь между периодом и частотой: ν = 1/T = 1/0,02 = 50 Гц.
2. Число колебаний за время t равно N = νt.
3. Подставляем данные: N = 50 · 0,5 = 25.

Ответ: за 0,5 с произойдёт 25 полных колебаний. Тот же результат можно получить делением всего времени на период: 0,5/0,02 = 25. Такой способ проверки наглядно показывает смысл периода как длительности одного цикла.

Задача 3. Ток задан законом i = 6 sin(50πt) А. Определить его значение и направление в момент t = 0,01 с. Коэффициент перед синусом задаёт амплитуду, а выражение внутри синуса нужно вычислить для указанного времени. Знак найденного значения покажет направление относительно принятого положительного направления тока.

1. Подставляем время в аргумент: 50π · 0,01 = 0,5π = π/2.
2. Вычисляем синус: sin(π/2) = 1, поэтому i = 6 · 1 = 6 А.
3. Значение положительно, значит ток направлен в выбранную положительную сторону.

Ответ: i = 6 А, направление — положительное. Полученная сила тока совпала с амплитудой, потому что синус в этот момент равен единице. Если бы результат оказался отрицательным, ток был бы направлен противоположно выбранной стороне.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что переменный ток только меняет величину, но не направление. Так происходит, если смотреть лишь на изменение силы тока и упустить её знак. Между тем периодическая смена направления — определяющий признак переменного тока. Проверьте, меняется ли знак мгновенного значения: для синусоидального закона оно бывает и положительным, и отрицательным.

Ошибка: принимать амплитуду за значение тока в любой момент. Амплитуду путают с мгновенным значением, потому что обе величины измеряются в амперах и могут совпасть в точке максимума. Однако мгновенный ток зависит от времени, а амплитуда задаёт его наибольшую величину за период. Для проверки сравните результат с Iₘ: модуль мгновенного значения не должен быть больше амплитуды.

Ошибка: находить частоту как ν = T. Вероятная причина — смешение слов «частота» и «период», хотя они обозначают противоположные по смыслу характеристики. Если период увеличить, колебания будут повторяться реже, поэтому частота должна уменьшиться. Проверка проста: используйте ν = 1/T и убедитесь, что произведение νT равно единице.

Ошибка: отождествлять частоту ν и циклическую частоту ω. Обе величины описывают быстроту колебаний, поэтому их легко спутать, но у них разные значения и единицы: ν измеряется в герцах, а ω — в радианах в секунду. Между ними есть множитель 2π: ω = 2πν. Проверяйте, какая именно величина стоит в формуле, и не пропускайте этот множитель при переходе от одной частоты к другой.

Связь с другими темами

Для понимания переменного тока нужны сила тока, напряжение, ЭДС и закон Ома для участка цепи: они описывают движение зарядов и связь между величинами в цепи. Период, частота и синусоидальная зависимость знакомы также по изучению механических и электромагнитных колебаний. Здесь те же способы описания применяются к электрическим величинам, меняющимся со временем. Эти знания понадобятся при изучении цепей с конденсатором и катушкой, трансформаторов и электросети.

Что запомнить

• Переменный ток периодически изменяет величину и направление.
• Амплитуда — максимальное по модулю значение тока или напряжения.
• Период — время одного полного колебания.
• Частота равна числу колебаний в единицу времени: ν = 1/T.
• Циклическая частота связана с частотой соотношением ω = 2πν.
• Для синусоидального тока i = Iₘ sin(ωt), а для напряжения u = Uₘ sin(ωt).

График показывает, как ток меняется со временем: его максимальное отклонение задаёт амплитуда, а повторение цикла — период. Знак мгновенного значения указывает направление относительно выбранного положительного направления.

На графике синусоидального тока две полные волны показывают два периода. По вертикали отложено отношение мгновенного тока к амплитуде, а по горизонтали — время в долях периода. Максимум соответствует амплитуде, а отрицательная часть графика — обратному направлению тока.