4. Вынужденные электромагнитные колебания. Резонанс

Определения и обозначения

Вынужденные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда и силы тока в цепи под действием внешней периодической ЭДС. В установившемся режиме частота колебаний равна частоте источника. Это понятие помогает отличать колебания, поддерживаемые источником, от собственных колебаний контура.

Резонанс — резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешнего воздействия совпадает с резонансной частотой системы. В электрической цепи особенно заметно возрастает амплитуда тока. Это явление объясняет, почему подбор частоты может сильно изменить отклик цепи.

Резонансная частота — частота внешнего воздействия, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна. Для идеального последовательного контура она совпадает с собственной частотой: ω₀ = 1/√(LC), где L — индуктивность, C — ёмкость, ω₀ — циклическая частота. Чтобы получить обычную частоту, используют связь ω₀ = 2πν₀.

Резонансная кривая — график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешнего воздействия. Её максимум показывает резонансную частоту, а ширина и высота характеризуют выраженность резонанса. Чем меньше активное сопротивление цепи, тем выше и уже пик кривой.

Как это устроено

Внешний источник переменной ЭДС совершает работу над зарядами и компенсирует потери энергии в сопротивлении цепи. Благодаря этому колебания не затухают, как свободные колебания в реальном контуре. После переходного процесса источник повторяет своё воздействие через одинаковые промежутки времени, поэтому установившиеся заряд и ток колеблются с его частотой, даже если собственная частота контура иная.

Рассмотрим последовательную цепь с резистором R, катушкой L и конденсатором C. При изменении частоты источника меняется индуктивное сопротивление катушки: X_L = ωL; чем выше частота, тем оно больше. Ёмкостное сопротивление X_C = 1/(ωC), наоборот, уменьшается с ростом частоты. Поэтому при одной частоте преобладает влияние конденсатора, при другой — катушки.

Катушка и конденсатор по-разному влияют на фазу переменного тока: одно сопротивление связано с накоплением энергии магнитного поля, другое — электрического поля. В последовательной цепи их реактивные сопротивления входят в полное сопротивление с противоположными знаками. Когда X_L = X_C, их вклады компенсируются, и переменная составляющая полного сопротивления исчезает.

Для последовательной RLC-цепи полное сопротивление равно Z = √(R² + (ωL − 1/(ωC))²). При компенсации реактивных сопротивлений Z минимально и равно активному сопротивлению R. По закону Ома для амплитуд Iₘ = Uₘ/Z, поэтому минимальное Z даёт максимальную амплитуду тока. Условие резонанса ωL = 1/(ωC) приводит к ω₀ = 1/√(LC).

Сопротивление R не позволяет току неограниченно расти: при резонансе Iₘ = Uₘ/R. Если R меньше, тот же источник создаёт больший ток, а максимум на резонансной кривой становится выше и уже. При большем R кривая ниже и шире, поэтому настройка частоты влияет на ток менее резко.

Вынужденные колебания и резонанс в последовательной RLC-цепи

Сначала сравни частоту источника с ω₀, затем определи, какое реактивное сопротивление больше. Для нахождения тока используй полное сопротивление, а в строке резонанса — упрощение Z = R. Таблица также показывает, что увеличение активного сопротивления уменьшает ток в резонансе.

Разбор задач

Во всех примерах рассматривается последовательный контур. Амплитуда ЭДС обозначается Uₘ, а циклическая частота источника — ω. Если численные значения не заданы, ответ удобно записать формулой через известные величины. Следи за тем, чтобы при необходимости перевести циклическую частоту в обычную.

Найти частоту резонанса по L и C

Условие: заданы индуктивность катушки L и ёмкость конденсатора C; требуется определить собственную частоту контура и частоту источника для резонанса. Сначала ищем циклическую частоту по параметрам самого контура. Затем, если нужна частота в герцах, делим её на 2π.

1. Записываем формулу: ω₀ = 1/√(LC).
2. Подставляем данные L и C, предварительно переводя их в генри и фарады, если они заданы в кратных единицах.
3. Для обычной частоты вычисляем ν₀ = ω₀/(2π). При резонансе частота источника должна быть равна найденной частоте.

Ответ: ω₀ = 1/√(LC), ν₀ = 1/(2π√(LC)); резонанс наступает при ω = ω₀.

Найти амплитуду тока при заданной частоте

Условие: известны Uₘ, R, L, C и частота источника. Нельзя сразу делить ЭДС на R: вне резонанса катушка и конденсатор увеличивают полное сопротивление цепи. Сначала учитываем оба реактивных сопротивления, а затем применяем закон Ома.

1. Если дана обычная частота ν, находим циклическую: ω = 2πν.
2. Вычисляем X_L = ωL и X_C = 1/(ωC); разность показывает нескомпенсированную реактивную часть.
3. Находим Z = √(R² + (X_L − X_C)²) и затем Iₘ = Uₘ/Z.

Ответ: Iₘ = Uₘ/√(R² + (ωL − 1/(ωC))²). Проверка: при X_L = X_C формула должна перейти в Iₘ = Uₘ/R.

Сравнить две цепи с разными R

Условие: две последовательные цепи имеют одинаковые L и C, но разные активные сопротивления R₁ и R₂; нужно сравнить резонансные токи и ширину кривых. Одинаковые L и C означают одинаковую резонансную частоту. Различие отклика связано только с активным сопротивлением.

1. При резонансе для каждой цепи используем Iₘ = Uₘ/R.
2. Если R₁ < R₂ и амплитуды источников одинаковы, то Uₘ/R₁ > Uₘ/R₂: первая цепь пропускает больший резонансный ток.
3. Сравниваем кривые: у цепи с меньшим R пик выше и уже, у цепи с большим R — ниже и шире.

Ответ: при одинаковой ЭДС больше ток в цепи с меньшим сопротивлением; её резонансная кривая уже и выше.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что частота вынужденных колебаний всегда равна собственной частоте контура. Это путают потому, что в задаче о резонансе эти частоты совпадают. Проверь себя: в установившемся режиме сначала укажи частоту источника, а совпадение с собственной частотой отмечай только для резонанса.

Ошибка: смешивать циклическую частоту ω и обычную частоту ν. Формула ωL = 1/(ωC) записана через ω, а связь величин — ω = 2πν. Перед подстановкой проверь единицы: ω измеряется в рад/с, ν — в герцах.

Ошибка: полагать, что при резонансе полное сопротивление равно нулю. Реактивные сопротивления компенсируются, но активное сопротивление R остаётся. Самопроверка — подставь X_L = X_C в формулу Z: получится Z = R.

Ошибка: утверждать, что резонансный ток бесконечен. Такое рассуждение забывает об активном сопротивлении и ограниченной мощности источника. Проверь формулу Iₘ = Uₘ/R: при ненулевом R и конечном Uₘ ток конечен.

Связь с другими темами

Для понимания резонанса нужно знать собственные электромагнитные колебания в LC-контуре и зависимость их периода от L и C. Эти знания дают формулу собственной частоты, с которой сравнивают частоту источника. Также пригодится закон Ома для переменного тока и умение различать активное, индуктивное и ёмкостное сопротивления.

Резонанс важен не только при решении задач о цепях. Его используют в электрических фильтрах, радиоприёмниках и настройке колебательных контуров: выбор подходящей частоты усиливает нужный сигнал или помогает отделить его от других. Поэтому понимание влияния сопротивления помогает оценивать, насколько точной будет такая настройка.

Что запомнить

• Частоту установившихся вынужденных колебаний задаёт внешний источник.
• Собственная частота LC-контура: ω₀ = 1/√(LC).
• Условие резонанса в последовательной RLC-цепи: ωL = 1/(ωC).
• При резонансе реактивные сопротивления компенсируют друг друга.
• Полное сопротивление при резонансе минимально и равно активному сопротивлению R.
• Амплитуда тока при резонансе максимальна, но конечна: Iₘ = Uₘ/R.
• Чем меньше активное сопротивление, тем выше и уже резонансный пик.

Резонансная кривая последовательной RLC-цепи показывает, как меняется нормированная амплитуда тока при изменении отношения частоты источника к резонансной частоте. Для приведённого примера максимум находится при ω/ω₀ = 1, а форма кривой зависит от сопротивления. Сравнивая высоту и ширину пика, можно судить о выраженности резонанса.