"Физика (базовый и углублённый уровни)", Грачёв А.В., Погожев В.А., Салецкий А.М., Боков П.Ю.
Вынужденные электромагнитные колебания возникают в цепи под действием периодической ЭДС и продолжаются, пока источник передаёт ей энергию. В установившемся режиме частоту задаёт источник, а амплитуда зависит от его частоты и сопротивлений цепи. Если частота воздействия близка к собственной частоте контура, наступает резонанс — амплитуда тока становится максимальной. Это явление используют, например, чтобы настраивать радиоприёмники на нужную частоту.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вынужденные электромагнитные колебания — колебания заряда, тока и напряжения в цепи под действием внешней периодической ЭДС. В отличие от свободных колебаний, они поддерживаются источником энергии. Это понятие помогает описывать работу цепи, подключённой к генератору переменного напряжения.
Вынуждающая ЭДС — периодическое внешнее воздействие, поддерживающее колебания в колебательном контуре. Обозначим частоту источника через ω, а его ЭДС — через ε. Именно источник восполняет энергию, теряемую, например, на нагрев проводов.
Резонанс — резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешнего воздействия к собственной частоте системы. Собственная частота контура зависит от его индуктивности L и ёмкости C: ω₀ = 1/√(LC). Понятие резонанса нужно, чтобы находить режим, в котором цепь особенно сильно откликается на источник.
Резонансная частота — частота внешнего воздействия, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна. Для идеального последовательного контура её циклическое значение равно ω₀, а линейная частота f₀ = 1/(2π√(LC)). Такое обозначение позволяет сравнивать частоту источника с частотой, на которую настроен контур.
Чтобы возбудить колебания, генератор периодической ЭДС подключают к последовательной цепи, в которой есть катушка, конденсатор и резистор. ЭДС заставляет заряд на конденсаторе и ток в цепи изменяться во времени. Конденсатор накапливает энергию электрического поля, а катушка — энергию магнитного поля, поэтому энергия переходит от одного элемента к другому. Резистор рассеивает часть энергии в виде тепла, а генератор восполняет её.
Сразу после подключения источника движение ещё не установилось: к вынужденному отклику добавлена переходная составляющая. Она постепенно затухает, потому что сопротивление рассеивает энергию начального процесса. Остаётся установившаяся составляющая, частота которой равна частоте внешней ЭДС. Следовательно, контур определяет характер отклика, но ритм установившихся колебаний задаёт генератор.
В последовательной цепи амплитуда тока зависит от полного сопротивления Z = √(R² + (ωL − 1/(ωC))²), где R — активное сопротивление, а два других слагаемых описывают действие катушки и конденсатора. Амплитуда тока равна амплитуде напряжения источника, делённой на Z. Разность реактивных сопротивлений определяет и фазовый сдвиг: при низкой частоте сильнее проявляется конденсатор, а при высокой — катушка. Поэтому при изменении частоты меняются и сила тока, и его фаза относительно ЭДС.
Когда ω приближается к ω₀, реактивные сопротивления катушки и конденсатора становятся почти равны и компенсируют друг друга. Полное сопротивление последовательной цепи тогда близко к R, поэтому ток при том же напряжении источника возрастает. Источник передаёт энергию особенно эффективно, так как колебания происходят в согласии с его воздействием. При резонансе ток и внешняя ЭДС совпадают по фазе.
Активное сопротивление не даёт амплитуде неограниченно расти: часть энергии каждый период превращается в тепло. При увеличении R максимум тока становится ниже, а область частот, в которой отклик остаётся значительным, расширяется. Поэтому резонансная кривая становится более пологой. Чем меньше сопротивление, тем выше и уже её пик.
| Режим | Соотношение частот | Амплитуда и ток | Фазовый сдвиг |
|---|---|---|---|
| Частота внешнего воздействия ниже собственной | ω < ω₀ | Амплитуда сравнительно мала и возрастает при приближении к ω₀ | Колебания тока почти совпадают по фазе с внешней ЭДС |
| Резонанс | ω ≈ ω₀ | Амплитуда тока максимальна; при малом сопротивлении максимум особенно велик | Ток и внешняя ЭДС совпадают по фазе |
| Частота внешнего воздействия выше собственной | ω > ω₀ | Амплитуда уменьшается с дальнейшим ростом частоты | Ток отстаёт по фазе от внешней ЭДС |
| Влияние сопротивления | R увеличивается | Максимум амплитуды уменьшается, резонансная кривая расширяется | Фазовый переход в области резонанса становится менее резким |
Сначала сравните частоту источника с собственной частотой контура, а затем оцените, насколько близок режим к резонансу. По амплитуде видно, насколько силён отклик, а по фазе — как ведёт себя ток относительно внешней ЭДС. Последняя строка показывает, почему сопротивление сглаживает резонанс.
Дано: L = 0,10 Гн, C = 100 мкФ, частота источника f = 50 Гц. Требуется найти собственную частоту контура и сравнить её с частотой источника. Удобнее вычислить линейную собственную частоту напрямую: f₀ = 1/(2π√(LC)).
Ответ: f₀ ≈ 50,3 Гц; при подключении источника с частотой 50 Гц возникает режим, близкий к резонансу.
Дано: R = 20 Ом, L = 0,20 Гн, C = 50 мкФ, действующее напряжение U = 10 В, f = 50 Гц. Сначала нужно найти, насколько катушка и конденсатор препятствуют току при данной частоте, а затем учесть их совместное действие. Так как источник задан действующим напряжением, искомый ток тоже будет действующим.
Ответ: действующее значение тока около 0,50 А, амплитуда тока около 0,71 А.
Дано: сначала резонансная частота f₁ = 1 кГц, затем f₂ = 2 кГц; индуктивность не меняется. Резонансная частота связана с параметрами контура формулой f₀ = 1/(2π√(LC)). При неизменной L частота обратно пропорциональна квадратному корню из C, поэтому удвоение частоты требует уменьшить ёмкость.
Ответ: ёмкость стала в 4 раза меньше.
Ошибка: считать частоту вынужденных колебаний собственной частотой контура. Так путают свободный отклик системы и установившиеся колебания под действием генератора. В установившемся режиме частота равна частоте источника, а собственная частота влияет на амплитуду. Проверка: найти в условии, какая частота задана источником.
Ошибка: утверждать, что резонанс возможен только при нулевом сопротивлении. Вероятно, так рассуждают, представляя идеальный контур без потерь. В реальной цепи сопротивление есть, и оно ограничивает ток, но резонансный максимум всё равно возникает. Проверка: при ω = ω₀ в последовательной цепи реактивные сопротивления компенсируются, а полное сопротивление остаётся равным R.
Ошибка: ожидать бесконечного роста общего напряжения при резонансе. Её вызывают большие значения напряжений на отдельных элементах. Напряжения на катушке и конденсаторе могут быть велики, но противоположны по фазе и взаимно компенсируются; конечное сопротивление ограничивает ток. Проверка: отличать напряжение на каждом элементе от напряжения источника.
Ошибка: напрямую сравнивать f и ω. Эти величины имеют разные единицы: частота f измеряется в герцах, а циклическая частота ω — в радианах в секунду. Ошибка часто появляется при подстановке чисел в формулы с разными обозначениями. Проверка: перед сравнением использовать ω = 2πf или f = ω/(2π).
Для изучения вынужденных колебаний нужны знания о свободных электромагнитных колебаниях и собственной частоте LC-контура. Также пригодятся понятия амплитуды, частоты и фазы, а для расчётов — закон Ома для переменного тока и представления об активном и реактивном сопротивлениях. Резонанс используют в радиоприёмниках для настройки на нужную волну, а также в фильтрах, генераторах и измерительных устройствах. В этих приборах он помогает выделить частоту или усилить отклик цепи.
Почему вынужденные колебания не затухают, хотя в цепи есть сопротивление?
Сопротивление превращает часть энергии колебаний в тепло, поэтому свободные колебания затухали бы. Вынуждающая ЭДС непрерывно передаёт цепи энергию и восполняет потери. В установившемся режиме поступление энергии за период компенсирует её потери.
Почему частота установившихся колебаний определяется источником, а не контуром?
Периодическая ЭДС действует с заданной частотой и регулярно изменяет ток в цепи именно с этой частотой. Собственная частота контура влияет на то, насколько большой будет амплитуда, но не задаёт частоту установившегося режима. После переходного процесса колебания следуют за внешним источником.
Всегда ли резонанс означает бесконечно большую амплитуду?
Нет. В реальной цепи есть активное сопротивление, которое ограничивает ток и рассеивает энергию. Чем больше сопротивление, тем ниже и шире резонансный максимум.
Почему при резонансе напряжения на катушке и конденсаторе могут быть больше напряжения источника?
При резонансе напряжения на катушке и конденсаторе противоположны по фазе и могут быть очень большими. При этом они почти компенсируют друг друга, поэтому напряжение источника не обязано быть таким же большим. Это не означает бесконечного роста общего напряжения в цепи.
Как по резонансной кривой определить влияние сопротивления?
Сравните высоту и ширину пиков: при большем сопротивлении максимум ниже, а кривая шире и положе. Значит, амплитуда меньше зависит от точного совпадения частот. Переход фазы вблизи резонанса также становится менее резким.
§ 44. Вынужденные электромагнитные колебания. Резонанс
