§ 45. Закон Ома для электрической цепи переменного тока

Определения и обозначения

Действующее значение переменного тока — значение постоянного тока, который за то же время выделил бы в сопротивлении такое же количество теплоты. Для синусоидального тока I = Iₘ/√2, где Iₘ — амплитуда. Эта величина позволяет применять привычные расчёты мощности и закона Ома.

Действующее значение переменного напряжения определяется аналогично: оно создаёт в сопротивлении такой же тепловой эффект, как постоянное напряжение. Для синусоидального напряжения U = Uₘ/√2. В электрических сетях обычно указывают именно действующее, а не амплитудное напряжение.

Реактивное сопротивление — сопротивление, связанное с накоплением энергии в магнитном или электрическом поле. У катушки оно индуктивное: X_L = 2πfL, а у конденсатора ёмкостное: X_C = 1/(2πfC). Оно не расходует энергию необратимо, а влияет на фазу и величину тока.

Импеданс Z — полное сопротивление цепи переменного тока, учитывающее активную и реактивную составляющие. В последовательной цепи с R, L и C он равен Z = √(R² + (X_L − X_C)²). Через импеданс действующие значения связаны законом Ома: I = U/Z.

Как это устроено

Синусоидальные ток и напряжение постоянно меняются, поэтому их мгновенные значения неудобны для описания обычных измерений и расчёта нагрева. Действующее значение заменяет переменную величину эквивалентным постоянным током или напряжением по тепловому действию. Поэтому для синусоидального режима закон Ома записывают для действующих значений: I = U/Z, а в цепи с одним резистором — I = U/R.

При изменении тока в катушке меняется её магнитное поле. Согласно явлению самоиндукции, возникающая ЭДС направлена против изменения тока и тем сильнее, чем быстрее это изменение. Поэтому катушка имеет индуктивное сопротивление X_L = 2πfL: при большей частоте ток меняется быстрее, и сопротивление возрастает.

Конденсатор препятствует не самому току, а быстрому изменению напряжения между обкладками. Чтобы изменить его заряд, требуется время, поэтому при высокой частоте конденсатор легче пропускает переменный ток. Это выражается формулой X_C = 1/(2πfC): ёмкостное сопротивление уменьшается с частотой и ведёт себя противоположно индуктивному.

В резисторе ток и напряжение изменяются синфазно, а катушка и конденсатор сдвигают их по фазе в противоположные стороны. Поэтому индуктивное и ёмкостное сопротивления нельзя складывать как одинаковые активные сопротивления: их действия частично компенсируют друг друга. В последовательной цепи используют разность X = X_L − X_C.

Активное сопротивление R и суммарное реактивное сопротивление X направлены в условной векторной диаграмме перпендикулярно. Поэтому импеданс получают геометрическим сложением: Z = √(R² + X²). Подставляя его в закон Ома, получают I = U/√(R² + (X_L − X_C)²).

Сопротивления и закон Ома в цепи переменного тока

Таблица помогает сравнить влияние трёх элементов на ток, частоту и фазу. При решении задачи сначала определяют нужный вид сопротивления, затем учитывают его знак и только после этого находят импеданс.

Активная составляющая определяет необратимое потребление энергии, а реактивные элементы в идеальном случае только запасают и возвращают её. В общей формуле реактивная часть входит как X_L − X_C, поэтому знак показывает характер цепи.

Разбор задач

Задача 1

К резистору сопротивлением 20 Ом подключено синусоидальное напряжение с действующим значением 100 В. Требуется найти действующее значение тока.

1. Резистор имеет только активное сопротивление, поэтому Z = R = 20 Ом.
2. Используем закон Ома для действующих значений: I = U/R = 100 В/20 Ом.
3. Получаем I = 5 А. Амплитудные значения здесь не нужны, поскольку условие и формула используют действующее напряжение.

Ответ: действующее значение тока равно 5 А.

Задача 2

Катушка индуктивностью 0,20 Гн включена в цепь переменного тока частотой 50 Гц. Найдём её индуктивное сопротивление.

1. Используем формулу X_L = 2πfL.
2. Подставляем f = 50 Гц и L = 0,20 Гн: X_L = 2π · 50 · 0,20 = 20π Ом.
3. Приближённо X_L ≈ 62,8 Ом. Единицы согласованы: частота взята в герцах, индуктивность — в генри.

Ответ: индуктивное сопротивление катушки примерно равно 62,8 Ом.

Задача 3

Последовательно соединены R = 30 Ом, L = 0,20 Гн и C = 100 мкФ. При f = 50 Гц напряжение равно 120 В. Найдём импеданс и ток.

1. Сначала вычисляем X_L = 2π · 50 · 0,20 ≈ 62,8 Ом.
2. Переводим ёмкость: 100 мкФ = 100 · 10⁻⁶ Ф. Тогда X_C = 1/(2π · 50 · 100 · 10⁻⁶) ≈ 31,8 Ом.
3. Реактивное сопротивление X ≈ 62,8 − 31,8 = 31,0 Ом, поэтому Z = √(30² + 31,0²) ≈ 43,1 Ом.
4. По закону Ома I = U/Z = 120/43,1 ≈ 2,78 А.

Ответ: импеданс цепи примерно 43,1 Ом, действующее значение тока — 2,78 А.

Типичные ошибки

Амплитудные значения подставляют в закон Ома вместо действующих. Это происходит из-за смешения обозначений; проверьте, одинаковый ли тип значений дан в условии и используется в формуле. Для синусоиды при необходимости переведите величину через деление или умножение на √2.

Индуктивное и ёмкостное сопротивления считают постоянными. Их принимают за обычные сопротивления, забывая о частоте: X_L растёт с f, а X_C уменьшается. Самопроверка — выписать формулу каждого элемента до подстановки чисел.

Реактивные сопротивления складывают как положительные числа. Так теряется их взаимная компенсация, потому что в цепи действует X_L − X_C. Сравните полученный результат с физическим смыслом: при равенстве этих сопротивлений реактивная часть должна исчезнуть.

Импеданс приравнивают к сумме R и X. Такая запись неверна из-за сдвига фаз между составляющими; они складываются геометрически. Проверьте формулу: для R, L и C должно быть Z = √(R² + X²).

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны закон Ома для участка цепи, представления о периодических величинах и действующих значениях синусоидального тока и напряжения. Эти знания позволяют отличать амплитуду от величины, используемой в практических расчётах.

Закон Ома для переменного тока опирается на электромагнитную индукцию, свойства катушки и закономерности зарядки конденсатора. Он нужен дальше при изучении резонанса, трансформаторов и работы электрических сетей.

Что запомнить

• Закон Ома для действующих значений: I = U/Z.
• Для синусоидального сигнала действующее значение равно амплитуде, делённой на √2.
• Индуктивное сопротивление X_L = 2πfL возрастает с частотой.
• Ёмкостное сопротивление X_C = 1/(2πfC) убывает с частотой.
• В последовательной цепи суммарное реактивное сопротивление равно X_L − X_C.
• Импеданс находят геометрическим сложением активной и реактивной составляющих.