§ 2.9. Закон Ома для электрической цепи переменного тока

Определения и обозначения

Закон Ома для цепи переменного тока связывает амплитуды напряжения и тока: Iₘ = Uₘ/Z. Здесь Uₘ — амплитуда напряжения, Iₘ — амплитуда тока, а Z — полное сопротивление цепи. Формула позволяет найти ток, если известно напряжение источника и влияние всех элементов цепи.

Полное сопротивление, или импеданс, Z учитывает активное сопротивление резистора и реактивное действие катушки с конденсатором. В отличие от обычного сопротивления, импеданс зависит от частоты и состава цепи. Он нужен для расчёта общего тока в цепи переменного тока.

Индуктивное сопротивление Xₗ = ωL характеризует противодействие катушки изменениям переменного тока. Здесь L — индуктивность, а ω — угловая частота. Чем выше частота, тем больше Xₗ и тем труднее току быстро изменяться.

Ёмкостное сопротивление X꜀ = 1/(ωC) характеризует сопротивление конденсатора переменному току; C — его ёмкость. При увеличении частоты X꜀ уменьшается, поэтому быстрые колебания проходят через конденсатор легче. Эти величины нужны для определения полного сопротивления RLC-цепи.

Как это устроено

Резистор препятствует току независимо от его направления, поэтому напряжение на нём изменяется синфазно с током. Катушка противодействует изменению тока: её напряжение опережает ток по фазе. Конденсатор, напротив, накапливает заряд и разряжается, поэтому ток и напряжение на нём также сдвинуты по фазе, но в противоположную сторону.

В последовательной цепи ток через резистор, катушку и конденсатор один и тот же, однако напряжения на элементах имеют разные фазы. Поэтому их амплитуды нельзя складывать обычным арифметическим способом. Активная составляющая напряжения связана с R, а результирующая реактивная составляющая определяется разностью Xₗ − X꜀.

Если представить эти составляющие как взаимно перпендикулярные направления, полное напряжение становится гипотенузой прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора получают Z = √(R² + (Xₗ − X꜀)²). Квадрат разности появляется потому, что индуктивное и ёмкостное влияния направлены противоположно и могут частично компенсировать друг друга.

Подставляя найденное Z в закон Ома, получают Iₘ = Uₘ/Z. Так можно определить амплитуду тока по заданному напряжению источника. При Xₗ = X꜀ реактивная составляющая исчезает, поэтому цепь сопротивляется току только активным сопротивлением R.

Сопротивления элементов цепи переменного тока и их влияние

Сначала определите, какой элемент описывает величина, затем подставьте частоту и параметры L или C в нужную формулу. После этого найдите разность Xₗ − X꜀ и вычислите Z. Наконец, по Uₘ и Z можно получить амплитуду тока.

Разбор задач

Задача 1

В цепи есть только резистор R = 30 Ом, а амплитуда напряжения равна Uₘ = 120 В. Реактивных элементов нет, поэтому полное сопротивление совпадает с активным. Используем обычную форму закона Ома.

1. Z = R = 30 Ом.
2. Iₘ = Uₘ/Z = 120/30 = 4 А.

Ответ: амплитуда тока Iₘ = 4 А.

Задача 2

Последовательно соединены резистор R = 40 Ом и катушка с Xₗ = 30 Ом; Uₘ = 250 В. Конденсатора нет, поэтому X꜀ = 0, а реактивная часть равна Xₗ. Сначала находим импеданс, затем ток.

1. Z = √(R² + Xₗ²) = √(40² + 30²) = √2500 = 50 Ом.
2. Iₘ = Uₘ/Z = 250/50 = 5 А.

Ответ: полное сопротивление Z = 50 Ом, амплитуда тока Iₘ = 5 А.

Задача 3

Для RLC-цепи заданы R = 24 Ом, Xₗ = 50 Ом, X꜀ = 18 Ом и Uₘ = 200 В. Разность реактивных сопротивлений положительна, значит, влияние катушки сильнее. После этого применяем формулы для Z и Iₘ.

1. Xₗ − X꜀ = 50 − 18 = 32 Ом.
2. Z = √(24² + 32²) = √1600 = 40 Ом.
3. Iₘ = 200/40 = 5 А.

Ответ: Z = 40 Ом, Iₘ = 5 А; преобладает индуктивное влияние.

Типичные ошибки

Складывают R, Xₗ и X꜀ арифметически. Так делают, забывая о фазовых сдвигах напряжений на элементах. Проверьте себя: для последовательной RLC-цепи должна использоваться формула с квадратом разности реактивных сопротивлений.

Используют Xₗ + X꜀ вместо Xₗ − X꜀. Ошибка возникает, когда оба сопротивления считают направленными одинаково. Сравните их фазовое действие: катушка и конденсатор компенсируют друг друга, поэтому берётся разность.

Путают амплитуду и действующее значение. При такой подмене результат отличается в √2 раз. Перед расчётом проверьте обозначения и используйте одну систему величин во всей задаче.

Считают, что частота одинаково меняет Xₗ и X꜀. Это происходит при механическом запоминании формул без анализа зависимости. Подставьте рост ω: Xₗ = ωL увеличивается, а X꜀ = 1/(ωC) уменьшается.

Связь с другими темами

Для изучения закона Ома переменного тока нужны закон Ома для участка цепи, представления о периодических изменениях тока и напряжения, а также понятие фазового сдвига. Без фазового сдвига нельзя объяснить, почему напряжения элементов складываются не арифметически. Эти знания связывают формулы с физическим поведением цепи.

Тема подготавливает к изучению резонанса в электрической цепи, когда Xₗ и X꜀ становятся равными. Она также нужна при рассмотрении мощности переменного тока и работы трансформаторов. Во всех этих задачах важно понимать, как частота меняет сопротивление и ток.

Что запомнить

• Для цепи переменного тока амплитуды связаны соотношением Iₘ = Uₘ/Z.
• Полное сопротивление последовательной RLC-цепи равно Z = √(R² + (Xₗ − X꜀)²).
• Индуктивное сопротивление Xₗ = ωL увеличивается с частотой.
• Ёмкостное сопротивление X꜀ = 1/(ωC) уменьшается с частотой.
• При равенстве Xₗ и X꜀ полное сопротивление равно активному сопротивлению R.
• При заданной амплитуде напряжения увеличение Z приводит к уменьшению амплитуды тока.