§ 11. Закон Ома для электрической цепи переменного тока

Определения и обозначения

Действующее значение переменного тока — значение постоянного тока, создающее такое же тепловое действие в резисторе. Для синусоидального тока оно равно амплитуде, делённой на √2: Iд = Iₘ/√2, а Uд = Uₘ/√2. Именно действующие значения показывают на приборах и используют в большинстве расчётов цепей переменного тока.

Реактивное сопротивление — сопротивление катушки или конденсатора переменному току, связанное с накоплением и отдачей энергии. Катушка обладает индуктивным сопротивлением XL = ωL, а конденсатор — ёмкостным XC = 1/(ωC). Эти величины нужны, чтобы учитывать не только нагрев, но и фазовый сдвиг между током и напряжением.

Полное сопротивление — величина, учитывающая активное и реактивное сопротивления цепи переменного тока. Для последовательной цепи RLC оно вычисляется как Z = √(R² + (XL − XC)²). Полное сопротивление позволяет связать общее действующее напряжение цепи с действующей силой тока.

Закон Ома для цепи переменного тока — связь действующих значений напряжения, силы тока и полного сопротивления: I = U/Z. Здесь U и I — действующие значения, а Z — полное сопротивление всей цепи. Если реактивных элементов нет, Z совпадает с обычным сопротивлением R.

Как это устроено

Переменный ток изменяется во времени, поэтому мгновенные значения напряжения и силы тока постоянно меняются. Сравнивать его с постоянным током удобно по тепловому действию: выбирают такое постоянное значение, которое выделило бы в резисторе ту же энергию за тот же промежуток времени. Это и есть действующее значение. Для синусоидального сигнала оно в √2 раз меньше амплитуды, потому что мощность зависит от квадрата тока.

Резистор превращает электрическую энергию в тепло, поэтому ток через него изменяется синхронно с напряжением. Катушка при изменении тока создаёт ЭДС самоиндукции, направленную против этого изменения, и тем самым ограничивает ток. Конденсатор требует времени на заряд и разряд, поэтому ток связан не с самим напряжением, а с быстротой его изменения.

Если напряжение на катушке задано как u = Uₘ sin(ωt), то ток достигает тех же значений позже: он отстаёт на π/2, или на четверть периода. В конденсаторе ток, наоборот, определяется изменением заряда и достигает максимума раньше напряжения, поэтому опережает его на π/2. Такие сдвиги не означают задержку передачи сигнала на постоянное время: они описывают положение колебаний внутри каждого периода.

В последовательной цепи ток одинаков во всех элементах, но напряжения на них сдвинуты по фазе. Активное напряжение связано с R, а индуктивное и ёмкостное направлены в противоположные стороны на фазовой диаграмме. Поэтому реактивные сопротивления вычитаются, а затем результат объединяется с R по теореме Пифагора: Z = √(R² + (XL − XC)²). Закон Ома сохраняет форму I = U/Z, поскольку Z уже включает все причины, ограничивающие ток.

При увеличении частоты XL = ωL растёт: катушке труднее быстро изменять ток. Для конденсатора XC = 1/(ωC) уменьшается, потому что при высокой частоте он успевает чаще заряжаться и разряжаться. Когда XL = XC, реактивные эффекты взаимно компенсируются. Это условие резонанса напряжений: Z становится равным R, а ток — наибольшим.

Сопротивления и фазовые соотношения в цепи переменного тока

Таблица помогает быстро определить формулу сопротивления и направление фазового сдвига. В строках для катушки и конденсатора указаны идеализированные элементы, у которых активное сопротивление считается пренебрежимо малым. Для реальной цепи учитывают также сопротивление проводов и обмотки.

Разбор задач

Задача 1

Для резистора сопротивлением 40 Ом и действующим напряжением 120 В найти действующую силу тока и амплитуду тока.

1. Резистор не создаёт фазового сдвига, поэтому его полное сопротивление равно R = 40 Ом.
2. По закону Ома найдём действующий ток: I = U/R = 120/40 = 3 А.
3. Амплитуда синусоидального тока больше действующего значения в √2 раз: Iₘ = I√2 = 3√2 ≈ 4,24 А.

Ответ: I = 3 А, Iₘ ≈ 4,24 А.

Задача 2

В последовательной цепи с резистором и катушкой заданы R, индуктивность L, частота f и действующее напряжение U. Найти полное сопротивление и действующую силу тока.

1. Угловая частота равна ω = 2πf.
2. Индуктивное сопротивление катушки вычисляется по формуле XL = ωL = 2πfL.
3. Напряжения на R и L сдвинуты на π/2, поэтому сопротивления нельзя складывать арифметически: Z = √(R² + XL²).
4. Действующая сила тока определяется законом Ома: I = U/Z.

Ответ: Z = √(R² + (2πfL)²), I = U/√(R² + (2πfL)²).

Задача 3

Для последовательной цепи RLC определить частоту, при которой сила тока максимальна, а также ток при заданном напряжении U.

1. Максимальный ток возникает при минимальном полном сопротивлении, то есть при резонансе.
2. Условие резонанса: XL = XC, или ωL = 1/(ωC).
3. Отсюда ω₀ = 1/√(LC), а частота f₀ = 1/(2π√(LC)).
4. При этой частоте Z = R, поэтому ток равен I₀ = U/R.

Ответ: резонансная частота f₀ = 1/(2π√(LC)), максимальный ток I₀ = U/R.

Типичные ошибки

Арифметическое сложение сопротивлений. XL, XC и R нельзя просто складывать: реактивные напряжения имеют разные фазы. Проверьте себя по формуле Z = √(R² + (XL − XC)²).

Смешение амплитудных и действующих значений. Такая ошибка появляется, когда в одной формуле используют Uₘ, а ток считают как действующий. Сначала определите тип всех заданных величин и при необходимости примените деление или умножение на √2.

Совпадение фаз в любой цепи. Оно верно только для резистора или для цепи в состоянии резонанса. Если есть L или C, установите фазовый сдвиг и только затем выбирайте формулу полного сопротивления.

Путаница между катушкой и конденсатором. Для катушки ток отстаёт, а для конденсатора опережает напряжение. Запомнить направление помогает проверка формул: XL растёт с частотой, XC уменьшается.

Связь с другими темами

Для изучения закона Ома переменного тока нужны закон Ома для участка цепи, понятия работы и мощности тока, а также амплитудные и действующие значения. Тема продолжает изучение переменного тока и помогает понять работу электрических цепей, трансформаторов и явление резонанса. Фазовые сдвиги связывают расчёты с векторными диаграммами и гармоническими колебаниями.

Что запомнить

• Для переменного тока закон Ома записывают через действующие значения: I = U/Z.
• Полное сопротивление зависит от активного и реактивного сопротивлений.
• Индуктивное сопротивление увеличивается с ростом частоты.
• Ёмкостное сопротивление уменьшается с ростом частоты.
• В резисторе ток и напряжение совпадают по фазе.
• В последовательной цепи RLC ток максимален при резонансе.
• Действующее значение синусоидального тока равно амплитуде, делённой на √2.