§ 43. Катушка индуктивности в цепи переменного тока

Определения и обозначения

Катушка индуктивности — проводник с индуктивностью L, в котором при изменении тока возникает ЭДС самоиндукции. ЭДС направлена так, чтобы противодействовать изменению тока. Это объясняет, почему катушка не даёт току изменяться мгновенно.

Индуктивность — физическая величина L, характеризующая способность катушки препятствовать изменению тока. Единица индуктивности — генри, Гн. Чем больше L, тем сильнее магнитное поле связано с током и тем больше напряжение требуется для его быстрого изменения.

Индуктивное сопротивление — величина X_L = ωL, где ω — циклическая частота. Она показывает, насколько катушка противодействует переменному току определённой частоты. В отличие от активного сопротивления, X_L не описывает необратимые потери энергии.

Фазовый сдвиг — разность фаз между напряжением и током. В идеальной катушке напряжение опережает ток на π/2, а ток отстаёт от напряжения на π/2. Это соотношение нужно учитывать при построении графиков и расчёте мощности.

Как это устроено

Когда ток в катушке изменяется, изменяется и создаваемый им магнитный поток. По закону электромагнитной индукции изменение потока вызывает ЭДС самоиндукции. Её направление противоположно изменению тока: при нарастании тока ЭДС препятствует нарастанию, а при уменьшении поддерживает прежнее направление.

Для идеальной катушки напряжение связано с током формулой u = L·di/dt. Производная di/dt показывает, насколько быстро меняется ток, поэтому при резком изменении тока напряжение велико. Если ток изменяется медленно, катушка оказывает меньшее противодействие.

Пусть ток изменяется по закону i = Iₘ sin(ωt). Тогда после дифференцирования получаем u = ωLIₘ cos(ωt). Косинус достигает максимума раньше синуса на четверть периода, поэтому напряжение опережает ток на π/2.

Из амплитудной связи Uₘ = ωLIₘ следует закон Ома для катушки: I = U/X_L, где X_L = ωL = 2πfL. При увеличении частоты ток меняется быстрее, поэтому индуктивное сопротивление возрастает. При постоянном токе f = 0, и после переходного процесса X_L стремится к нулю.

Идеальная катушка не расходует энергию безвозвратно. В одной части периода энергия накапливается в магнитном поле, а в другой возвращается источнику, поэтому средняя мощность за период равна нулю. У реальной катушки провод имеет активное сопротивление, и часть энергии превращается в тепло.

Основные величины и соотношения для катушки в цепи переменного тока

Сначала определите, рассматривается ли идеальная или реальная катушка. Для идеальной модели достаточно X_L и фазового сдвига, а для реальной нужно учитывать активное сопротивление провода.

Если в условии даны действующие значения напряжения и тока, используйте их вместе: I = U/X_L. Амплитуды применяйте вместе с амплитудами; переход между ними выполняют по формулам Uₘ = √2U и Iₘ = √2I.

Разбор задач

Задача 1

Условие: катушка индуктивностью 0,20 Гн подключена к источнику переменного тока частотой 50 Гц. Найти индуктивное сопротивление.

1. Находим циклическую частоту: ω = 2πf = 2π·50 = 100π рад/с.
2. Используем формулу X_L = ωL, потому что сопротивление катушки определяется частотой и индуктивностью.
3. Подставляем значения: X_L = 100π·0,20 = 20π ≈ 62,8 Ом.

Ответ: X_L ≈ 62,8 Ом.

Задача 2

Условие: на идеальную катушку с индуктивностью 0,10 Гн подано действующее напряжение 220 В при частоте 50 Гц. Найти действующее значение тока.

1. Вычисляем сопротивление: X_L = 2πfL = 2π·50·0,10 = 10π ≈ 31,4 Ом.
2. Для действующих значений применяем закон Ома для катушки: I = U/X_L.
3. Получаем I = 220/31,4 ≈ 7,0 А.

Ответ: I ≈ 7,0 А.

Задача 3

Условие: ток изменяется по закону i = 2 sin(100πt) А, индуктивность равна 0,15 Гн. Записать закон напряжения и найти его амплитуду.

1. Дифференцируем ток: di/dt = 2·100π cos(100πt) = 200π cos(100πt).
2. Подставляем производную в u = L·di/dt: u = 0,15·200π cos(100πt) = 30π cos(100πt) В.
3. Амплитуда равна коэффициенту перед косинусом: Uₘ = 30π ≈ 94,2 В.

Ответ: u = 30π cos(100πt) В, Uₘ ≈ 94,2 В. Косинус подтверждает опережение напряжения относительно тока на π/2.

Типичные ошибки

Путают X_L с активным сопротивлением. Индуктивное сопротивление зависит от частоты и связано с обменом энергией, а не с её необратимым превращением в тепло. Проверка: если говорят о средней активной мощности, ищите активное сопротивление, а не только X_L.

Считают ток и напряжение совпадающими по фазе. Так бывает в идеальном резисторе, но не в идеальной катушке: напряжение опережает ток на π/2. Проверка: при i = sin(ωt) напряжение должно быть пропорционально cos(ωt).

Используют X_L = L/f. В этой записи потерян множитель 2π, потому что формула использует циклическую частоту ω = 2πf. Проверка: записывайте сначала X_L = ωL, а затем заменяйте ω на 2πf.

Смешивают амплитудные и действующие значения. Нельзя подставлять амплитуду напряжения вместе с действующим током. Проверка: при переходе используйте Uₘ = √2U и Iₘ = √2I.

Связь с другими темами

До изучения катушки нужно знать самоиндукцию, закон Ома, синусоидальные колебания, действующие значения и фазу переменного тока. Эти знания позволяют понять происхождение формулы u = L·di/dt и правильно читать графики.

Далее свойства катушки используются при изучении последовательных и параллельных цепей переменного тока. На их основе находят полное сопротивление цепи и объясняют явление резонанса.

Практическое применение связано с трансформаторами, электродвигателями, фильтрами и колебательными контурами. В каждом случае катушка управляет током благодаря индуктивности и зависимости X_L от частоты.

Что запомнить

• Для идеальной катушки u = L·di/dt.
• Индуктивное сопротивление катушки X_L = ωL = 2πfL.
• При увеличении частоты сопротивление катушки переменному току возрастает.
• В идеальной катушке напряжение опережает ток на π/2, а ток отстаёт от напряжения на π/2.
• Средняя активная мощность идеальной катушки за период равна нулю.
• Энергия катушки W = LI²/2 запасается в её магнитном поле.