§ 42. Конденсатор в цепи переменного тока

Определения и обозначения

Ёмкостное сопротивление — сопротивление конденсатора переменному току: X_C = 1/(ωC). Здесь ω — циклическая частота, а C — ёмкость. Формула показывает, что при большей частоте или ёмкости ток проходит легче.

Реактивное сопротивление связано не с нагреванием, а с накоплением энергии и её возвратом источнику. В конденсаторе энергия запасается в электрическом поле. Поэтому такое сопротивление характеризует обмен энергией, а не её необратимую потерю.

Фазовый сдвиг — разность фаз между двумя синусоидальными величинами. Для конденсатора ток опережает напряжение на π/2, то есть на четверть периода. Это помогает определить, какое значение тока соответствует данному напряжению в каждый момент.

Действующее значение переменного тока — значение постоянного тока, создающее такое же тепловое действие. Для синусоидального тока I = Iₘ/√2, где Iₘ — амплитуда. Именно действующие значения обычно указаны на бытовых источниках и используются в законе Ома для переменного тока.

Как это устроено

При подключении конденсатора к источнику переменного напряжения его напряжение всё время меняется по величине и направлению. Поэтому на одной обкладке периодически накапливается положительный заряд, а затем процесс сменяется разрядкой и зарядкой с противоположным знаком. Заряды не проходят через диэлектрик, но во внешней части замкнутой цепи движение зарядов продолжается.

Сила тока определяется тем, насколько быстро изменяется заряд: i = dq/dt. Так как q = CU, при постоянной ёмкости получаем i = C·dU/dt. Следовательно, медленное изменение напряжения вызывает небольшой ток, а быстрое изменение — большой.

Пусть напряжение изменяется по закону u = Uₘ sin(ωt). Тогда после дифференцирования i = C·du/dt = ωCUₘ cos(ωt), а амплитуда тока равна Iₘ = ωCUₘ. Сравнение с законом Ома Iₘ = Uₘ/X_C даёт X_C = 1/(ωC), поэтому сопротивление уменьшается при росте частоты.

Ток опережает напряжение на π/2, потому что производная синуса является косинусом. Когда напряжение проходит через ноль, его изменение происходит наиболее быстро, и ток максимален. В моменты максимального напряжения скорость его изменения равна нулю, поэтому ток также проходит через ноль.

Мощность в идеальном конденсаторе меняет знак в течение периода. В одной половине периода источник передаёт энергию электрическому полю, а в другой половине поле возвращает её источнику. Поэтому средняя мощность за полный период равна нулю, хотя мгновенная мощность в отдельные моменты не равна нулю.

Свойства конденсатора в цепях постоянного и переменного тока

Сначала определите, какой режим описан в задаче: постоянный или переменный ток. Для переменного тока найдите X_C, а затем используйте действующие или амплитудные значения согласованно.

Если в цепи есть резистор, его сопротивление нельзя складывать с X_C обычным арифметическим сложением. Нужно учитывать фазовый сдвиг и вычислять полное сопротивление.

Разбор задач

Задача 1

Конденсатор C = 10 мкФ подключён к источнику с частотой ν = 50 Гц и действующим напряжением U = 220 В. Требуется найти X_C и действующий ток. Сначала переводим ёмкость в фарады, затем находим циклическую частоту.

1. ω = 2πν = 2π·50 ≈ 314 с⁻¹.
2. X_C = 1/(ωC) = 1/(314·10·10⁻⁶) ≈ 31,8 Ом.
3. I = U/X_C = 220/31,8 ≈ 6,9 А.

Ответ: ёмкостное сопротивление примерно 31,8 Ом, действующий ток примерно 6,9 А. Большое значение тока объясняется сравнительно малым сопротивлением конденсатора на частоте 50 Гц.

Задача 2

Напряжение задано законом u = Uₘ sin(ωt). Нужно получить закон тока и определить фазовый сдвиг. Используем зависимость тока от скорости изменения напряжения.

1. i = C·du/dt.
2. du/dt = Uₘω cos(ωt), поэтому i = ωCUₘ cos(ωt).
3. Так как cos(ωt) = sin(ωt + π/2), ток опережает напряжение на π/2.

Ответ: i = Iₘ cos(ωt), где Iₘ = ωCUₘ; ток опережает напряжение на π/2, или на четверть периода.

Задача 3

Резистор R = 30 Ом и конденсатор с X_C = 40 Ом соединены последовательно, напряжение U = 100 В. Активное и реактивное сопротивления сдвинуты по фазе на π/2, поэтому сначала найдём их векторную сумму.

1. Z = √(R² + X_C²) = √(30² + 40²) = 50 Ом.
2. I = U/Z = 100/50 = 2 А.
3. Полученный ток является действующим значением для всей последовательной цепи.

Ответ: полное сопротивление цепи Z = 50 Ом, действующий ток I = 2 А. Простое сложение 30 Ом и 40 Ом дало бы неверный результат.

Типичные ошибки

Считать конденсатор разрывом цепи при любом токе. Так рассуждают по свойствам постоянного тока после завершения зарядки, но при переменном напряжении заряд постоянно меняется. Проверьте себя: если частота ненулевая, используйте i = C·dU/dt.

Записывать X_C = ωC вместо X_C = 1/(ωC). Ошибка возникает из-за невнимательного запоминания формулы и меняет зависимость от частоты на противоположную. Проверьте смысл: при росте частоты конденсатор должен пропускать больший ток, значит X_C уменьшается.

Утверждать, что напряжение опережает ток. Такое соотношение характерно не для конденсатора, а для катушки. Выведите производную синуса: i пропорционален cos(ωt), поэтому ток опережает напряжение на π/2.

Складывать R и X_C арифметически. Эти величины соответствуют компонентам, сдвинутым по фазе, поэтому Z = √(R² + X_C²). Самопроверка проста: полное сопротивление должно быть больше каждого из двух компонентов, но меньше их суммы.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны заряд и ёмкость конденсатора, закон Ома, синусоидальные величины, а также амплитудные и действующие значения. Фазовый сдвиг связывает конденсатор с векторными диаграммами переменного тока.

Эти знания используются при расчёте цепей с резистором, катушкой и конденсатором. Они необходимы также для изучения фильтров и полного сопротивления, или импеданса, переменных цепей.

Что запомнить

• Конденсатор пропускает переменный ток благодаря периодической перезарядке.
• Ёмкостное сопротивление равно X_C = 1/(ωC).
• При увеличении частоты ёмкостное сопротивление уменьшается.
• При увеличении ёмкости ток через конденсатор увеличивается.
• В конденсаторе ток опережает напряжение на π/2.
• Идеальный конденсатор не потребляет средней мощности за период.
• Для действующих значений переменного тока справедливо I = U/X_C.