§39. Конденсатор в цепи переменного тока

Определения и обозначения

Переменный ток в конденсаторе — ток во внешней цепи, возникающий при изменении заряда и напряжения на обкладках. Заряд через изолирующий диэлектрик не проходит: меняется распределение зарядов на самих обкладках. Это понятие объясняет, почему конденсатор может быть частью цепи переменного тока, хотя между его обкладками нет проводящего пути.

Ёмкостное сопротивление X_C — величина, характеризующая ограничение переменного тока конденсатором: X_C = 1/(ωC), где C — ёмкость, а ω — циклическая частота. Единица X_C — ом, как и у обычного сопротивления. Эта величина нужна, чтобы связывать напряжение и ток в расчётах цепи.

Сдвиг фаз — разность фаз между периодически меняющимися током и напряжением. Для идеального конденсатора ток опережает напряжение на π/2, то есть на четверть периода. Зная сдвиг, можно правильно сопоставить моменты максимума и нуля на графиках сигналов.

Действующие значения тока и напряжения — значения переменных величин, равные по тепловому действию постоянным току и напряжению. Для синусоидальных сигналов I = I_m/√2 и U = U_m/√2, где индекс m обозначает амплитуду. Для участка с конденсатором можно применять закон Ома U = I X_C, если оба значения взяты одного типа: действующие или амплитудные.

Как это устроено

Когда источник повышает напряжение на конденсаторе, на его обкладках накапливаются заряды противоположных знаков; когда напряжение снижается, заряд убывает. Из соотношения q = Cu следует, что при постоянной ёмкости изменение q пропорционально изменению u. Поскольку ток — это скорость изменения заряда, i = dq/dt, получаем i = C du/dt. Значит, ток появляется именно тогда, когда меняется напряжение, а не из-за прохождения зарядов через диэлектрик.

Пусть напряжение меняется по закону u = U_m cos(ωt). Его производная равна du/dt = −ωU_m sin(ωt), поэтому ток i = −ωCU_m sin(ωt). Эту же зависимость можно записать как i = ωCU_m cos(ωt + π/2): форма колебаний та же, но фаза тока больше на π/2. Причина опережения в том, что скорость изменения косинусоиды достигает максимума, когда сама она проходит через ноль.

Из выражений для амплитуд следует I_m = ωCU_m, поэтому отношение U_m/I_m равно 1/(ωC). Это отношение называют ёмкостным сопротивлением: X_C = U_m/I_m = 1/(ωC). Поскольку действующие значения синусоидальных тока и напряжения получаются делением соответствующих амплитуд на √2, их отношение остаётся тем же. Поэтому для них также выполняется закон Ома U = I X_C.

Формула X_C = 1/(ωC) показывает, что при увеличении C или частоты f ёмкостное сопротивление уменьшается; здесь ω = 2πf. При неизменном напряжении уменьшение X_C означает увеличение тока согласно I = U/X_C. Для постоянного напряжения ситуация иная: после того как конденсатор зарядился, заряд больше не меняется, а значит, i = dq/dt = 0. Поэтому установившийся постоянный ток через такой конденсатор не течёт.

Во время зарядки энергия запасается в электрическом поле между обкладками. Когда источник меняет направление действия, конденсатор разряжается и передаёт эту энергию обратно источнику; затем процесс повторяется. Идеальный конденсатор не превращает энергию в тепло, поэтому средняя мощность, расходуемая на нагрев, равна нулю. В реальных цепях возможны потери из-за несовершенства конденсатора и проводов, но их не учитывают в модели идеального элемента.

Свойства конденсатора в цепях постоянного и переменного тока

Сравнивайте столбцы, чтобы не переносить выводы о постоянном токе на переменный: для переменного напряжения заряд всё время изменяется. Для расчёта используйте X_C только при известной частоте и ёмкости. Таблица описывает идеальный конденсатор и установившиеся режимы.

Разбор задач

Задача 1. Конденсатор ёмкостью 20 мкФ подключён к источнику переменного напряжения частотой 50 Гц. Найти его ёмкостное сопротивление. Сопротивление зависит и от частоты, и от ёмкости, поэтому сначала переведём обе величины в единицы СИ, а затем найдём ω. В итоговом ответе укажем омы.

1. Переводим ёмкость: C = 20 мкФ = 20·10⁻⁶ Ф.
2. Вычисляем циклическую частоту: ω = 2πf = 2π·50 ≈ 314 с⁻¹.
3. Подставляем: X_C = 1/(ωC) = 1/(314·20·10⁻⁶) ≈ 159 Ом.

Ответ: X_C ≈ 159 Ом. Проверка здравого смысла: при сравнительно небольшой ёмкости сопротивление не должно быть близким к нулю. При увеличении частоты или ёмкости полученное значение уменьшилось бы.

Задача 2. К конденсатору ёмкостью 10 мкФ приложено синусоидальное напряжение с действующим значением 12 В и частотой 1 кГц. Определить действующее значение тока. Поскольку задано действующее напряжение, итоговый ток тоже найдём как действующее значение. Сначала потребуется вычислить сопротивление конденсатора на данной частоте.

1. C = 10·10⁻⁶ Ф, f = 1000 Гц, поэтому ω = 2πf ≈ 6283 с⁻¹.
2. X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·10·10⁻⁶) ≈ 15,9 Ом.
3. По закону Ома для действующих значений I = U/X_C = 12/15,9 ≈ 0,75 А.

Ответ: I ≈ 0,75 А. Чем больше частота, тем меньше X_C и тем больший ток возникает при том же напряжении. В расчёте действующее напряжение сопоставлено с действующим током.

Задача 3. Напряжение на конденсаторе задано выражением u(t) = 100 cos(200πt) В, ёмкость равна 50 мкФ. Записать закон изменения силы тока и найти её амплитуду. Здесь задана функция напряжения, поэтому воспользуемся связью тока со скоростью её изменения. Производная сразу покажет как амплитуду, так и фазу тока.

1. Переводим ёмкость: C = 50·10⁻⁶ Ф; циклическая частота ω = 200π с⁻¹.
2. Находим производную: du/dt = −100·200π sin(200πt).
3. Умножаем на ёмкость: i(t) = C du/dt = −π sin(200πt) А.
4. Переписываем закон через косинус: i(t) = π cos(200πt + π/2) А, поэтому I_m = π А ≈ 3,14 А.

Ответ: i(t) = −π sin(200πt) А; амплитуда I_m ≈ 3,14 А. Запись с фазой показывает, что ток опережает напряжение на π/2. Знак минус в выражении с синусом не означает отрицательную амплитуду — он задаёт положение колебания по фазе.

Типичные ошибки

Считать, что ток проходит сквозь диэлектрик, — неверно: через него заряд не переносится. Такую ошибку допускают, потому что говорят о токе «через конденсатор», имея в виду всю цепь. Проверка: вспомните, что ток связан с изменением заряда на обкладках и движением зарядов по проводам.

Утверждать, что ток отстаёт от напряжения на π/2, — значит перепутать конденсатор с другим элементом цепи. Ошибка часто возникает при запоминании фазовых соотношений без проверки формулы. Вычислите производную: для u = U_m cos(ωt) ток равен −ωCU_m sin(ωt), то есть опережает напряжение.

Формула X_C = ωC неверна: она даёт противоположную зависимость от параметров. Её могут получить, забыв, что сопротивление — это отношение напряжения к току. Проверьте результат по X_C = U_m/I_m = 1/(ωC): рост частоты или ёмкости должен уменьшать ёмкостное сопротивление.

Нельзя подставлять амплитуду напряжения вместе с действующим значением тока в одну формулу закона Ома. Путаница появляется из-за того, что для одного сигнала используют разные способы описания величины. Перед расчётом отметьте индексы: сопоставляйте U_m с I_m либо U с I, а не значения разных типов.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны ёмкость, заряд и напряжение конденсатора, а также связь q = Cu. При анализе переменного тока пригодятся гармонические колебания, циклическая частота и фаза; частота связана с ней формулой ω = 2πf. Эти знания позволят перейти от одного конденсатора к цепям с катушкой индуктивности и другими элементами. Далее свойства конденсатора используются при изучении резонанса и расчёте электрических цепей.

Что запомнить

• Ток в конденсаторе определяется скоростью изменения напряжения: i = C du/dt.
• В цепи с идеальным конденсатором ток опережает напряжение на π/2.
• Ёмкостное сопротивление равно X_C = 1/(ωC).
• Для действующих значений справедливо U = I X_C.
• При увеличении частоты или ёмкости ёмкостное сопротивление уменьшается.
• Идеальный конденсатор не расходует энергию на нагрев, а возвращает запасённую энергию источнику.