§38. Резистор в цепи переменного тока

Определения и обозначения

Активное сопротивление резистора R характеризует противодействие, которое резистор оказывает переменному току. Для идеального резистора оно не зависит от частоты и измеряется в омах. Значение R нужно, чтобы связать ток и напряжение и определить, какая часть энергии превращается во внутреннюю.

Мгновенные значения напряжения u и силы тока i — это значения этих величин в выбранный момент времени. Они могут меняться от нуля до максимума и менять знак в течение периода. Эти обозначения нужны, когда описывают колебания с помощью функций времени, например u(t).

Действующие значения напряжения U и силы тока I — значения постоянных напряжения и тока, при которых на резисторе выделяется такая же средняя мощность, как при переменном токе. Для синусоидальных колебаний они меньше амплитуд в √2 раз. Именно действующие значения обычно указывают для бытовой электросети.

Фаза колебания — аргумент синусоидальной зависимости, который задаёт состояние колебания в данный момент. Сравнивая фазы тока и напряжения, можно понять, совпадают ли их изменения или одно из них запаздывает. Для резистора их фазовый сдвиг равен нулю.

Как это устроено

В резисторе электрическое поле вызывает направленное движение зарядов, то есть ток. Для идеального резистора связь между напряжением и током в каждый момент такая же, как для постоянного тока: i = u/R. Поэтому достаточно знать напряжение именно сейчас, чтобы определить ток в тот же момент. Если напряжение равно нулю, то и ток равен нулю.

Пусть напряжение меняется синусоидально: u(t) = Uₘ sin(ωt), где Uₘ — амплитуда, а ω — циклическая частота. Подстановка в мгновенный закон Ома даёт i(t) = (Uₘ/R) sin(ωt). Значит, ток тоже синусоидален и имеет ту же частоту: резистор не меняет период колебаний. Меняется только масштаб тока, определяемый сопротивлением.

В выражениях для u(t) и i(t) стоит один и тот же синус с одинаковым аргументом. Поэтому максимумы и минимумы величин наступают одновременно, а переходы через ноль происходят в одни и те же моменты. Такое совпадение означает, что разность фаз φ равна нулю. В катушке или конденсаторе ток может запаздывать или опережать напряжение, но резистор не накапливает энергию в магнитном или электрическом поле и такого сдвига не создаёт.

Амплитуда тока следует из того же закона Ома: Iₘ = Uₘ/R. Например, увеличение сопротивления при неизменном напряжении уменьшает амплитуду тока. Для синусоидального тока действующее значение равно I = Iₘ/√2, а для напряжения U = Uₘ/√2. Деление обеих амплитуд на одно и то же число сохраняет закон Ома: I = U/R.

Мгновенная мощность равна произведению напряжения и тока: p = ui. На резисторе i = u/R, поэтому p = u²/R и мощность не бывает отрицательной. В течение периода электрическая энергия превращается во внутреннюю, а не возвращается источнику; поэтому усреднение мощности не даёт нуля. Средняя мощность выражается через действующие значения: P = UI = I²R = U²/R.

Основные соотношения для резистора в цепи переменного тока

В таблице собраны формулы для мгновенных, амплитудных и действующих значений, а также для мощности.

Сначала определи, какие значения даны в условии: мгновенные, амплитудные или действующие. Для мгновенного тока используй u/R, а для средней мощности — формулу с действующими значениями. Если известны амплитуды синусоидальных величин, перед расчётом средней мощности переведи их в действующие значения.

Разбор задач

На резистор сопротивлением 20 Ом подано синусоидальное напряжение с амплитудой 10 В. Требуется найти амплитуду тока. Поскольку речь идёт об амплитудах, используем связь Iₘ = Uₘ/R. Подстановка даёт Iₘ = 10/20 = 0,5 А.

1. Выпишем данные: R = 20 Ом, Uₘ = 10 В. Искомая величина — Iₘ, а не действующий ток.
2. Применим закон Ома к амплитудам: Iₘ = Uₘ/R. Здесь сопротивление показывает, во сколько раз амплитуда тока меньше амплитуды напряжения.
3. Подставим значения: Iₘ = 10 В/20 Ом = 0,5 А. Размерность результата — амперы, как и должно быть для силы тока.

Ответ: амплитуда тока равна 0,5 А.

Действующее напряжение на резисторе 40 Ом равно 120 В. Нужно найти действующий ток и среднюю мощность. В условии уже указано действующее напряжение, поэтому переводить его из амплитудного не требуется. Сначала найдём ток, затем используем P = UI.

1. Запишем данные: R = 40 Ом, U = 120 В. Ищем действующие значения I и P.
2. По закону Ома I = U/R = 120/40 = 3 А. Полученное значение — действующий ток, поскольку в формулу подставлено действующее напряжение.
3. Вычислим среднюю мощность: P = UI = 120 · 3 = 360 Вт. Проверка по формуле P = I²R даёт 3² · 40 = 360 Вт.

Ответ: I = 3 А, P = 360 Вт.

Напряжение задано функцией u(t) = 100 sin(100πt) В, сопротивление равно 50 Ом. Нужно записать ток, определить его действующее значение и среднюю мощность. Поскольку закон Ома выполняется в каждый момент, разделим всю функцию напряжения на сопротивление. Затем используем амплитуду полученного тока и формулы для синусоидального сигнала.

1. Подставим u(t) в выражение i(t) = u(t)/R: i(t) = (100/50) sin(100πt) = 2 sin(100πt) А. Амплитуда тока Iₘ равна 2 А, а фаза совпадает с фазой напряжения.
2. Переведём амплитуду в действующее значение: I = Iₘ/√2 = 2/√2 = √2 А. Амплитуда напряжения равна 100 В, поэтому U = 100/√2 В.
3. Найдём среднюю мощность по действующим значениям: P = UI = (100/√2) · √2 = 100 Вт. Такой же результат даёт P = I²R = (√2)² · 50 = 100 Вт.

Ответ: i(t) = 2 sin(100πt) А; I = √2 А; P = 100 Вт.

Типичные ошибки

• Ошибка — считать, что ток отстаёт от напряжения, как в цепи с катушкой. Так бывает при смешении свойств разных элементов: идеальный резистор не создаёт такого фазового сдвига. Проверь выражения для u(t) и i(t): у резистора аргумент синуса одинаков, поэтому φ = 0.

• Ошибка — подставлять амплитудное напряжение в формулу для действующего тока или мощности. Амплитуда показывает максимум, а действующее значение связано со средней мощностью; для синусоиды они отличаются в √2 раза. Перед расчётом проверь обозначения и, если нужно, раздели амплитуду на √2.

• Ошибка — полагать, что средняя мощность равна нулю, потому что переменный ток меняется. Такой вывод возникает, если забыть, что мощность — это произведение u и i, которые на резисторе меняются в одной фазе. Самопроверка: p = u²/R ≥ 0, значит, средняя мощность за период положительна.

• Ошибка — считать сопротивление резистора реактивным или зависящим от частоты. Это смешение понятий активного сопротивления и сопротивлений катушки или конденсатора. Проверь, о каком элементе говорится: для идеального резистора R не зависит от частоты и не вызывает сдвига фаз.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны закон Ома для участка цепи и знания о синусоидальных колебаниях: амплитуде, периоде и фазе. Разобравшись с резистором, проще сравнить его поведение с поведением конденсатора и катушки в цепи переменного тока. Действующие значения и средняя мощность помогают рассчитывать работу бытовых электроприборов и потребление энергии. При таких расчётах особенно важно не смешивать амплитуды с действующими значениями.

Что запомнить

• Для резистора мгновенный закон Ома имеет вид i = u/R.
• Ток и напряжение на резисторе совпадают по фазе.
• Амплитуды связаны формулой Iₘ = Uₘ/R.
• Действующие значения синусоидальных тока и напряжения равны соответствующим амплитудам, делённым на √2.
• Закон Ома для действующих значений: I = U/R.
• Средняя мощность резистора положительна и равна P = UI = I²R = U²/R.