§ 2.6. Резистор в цепи переменного тока

Определения и обозначения

Резистор — элемент цепи, в котором электрическая энергия необратимо превращается главным образом во внутреннюю энергию. Проще говоря, резистор нагревается, пропуская ток. Это отличает его от элементов, способных запасать энергию в электрическом или магнитном поле. Поэтому резистор удобно использовать для ограничения тока и получения тепла.

Активное сопротивление — сопротивление резистора переменному току, определяющее связь между действующими значениями напряжения и тока. Его обозначают R и измеряют в омах. Для резистора оно связывает величины формулой I = U/R. По сопротивлению можно определить, какой ток потечёт при заданном напряжении.

Действующее значение переменного тока — значение постоянного тока, производящее в резисторе такое же тепловое действие. Обычно его обозначают I, а действующее напряжение — U; амплитуды обозначают Im и Um. Для синусоидальных величин I = Im/√2 и U = Um/√2. Эти значения нужны, чтобы рассчитывать нагрев и мощность так же удобно, как в цепи постоянного тока.

Фазовое совпадение напряжения и тока означает, что их мгновенные значения проходят через ноль и достигают максимумов одновременно. Для синусоидальных величин это выражают одинаковым аргументом синуса. Такое совпадение показывает, что между изменениями тока и напряжения нет временной задержки. На резисторе ток не опережает и не отстаёт от напряжения.

Как это устроено

Сопротивление резистора не зависит от того, в каком направлении через него течёт ток. Поэтому закон Ома применим не только к постоянным величинам: в каждый момент времени мгновенный ток i связан с мгновенным напряжением u соотношением i = u/R. Если напряжение поменяло знак, то знак тока тоже меняется. При этом R остаётся тем же, так что связь верна на всём протяжении колебания.

В резисторе нет механизма, который сначала накапливал бы энергию, а затем возвращал её в цепь. Из-за этого ток не запаздывает вслед за изменением напряжения и не опережает его. Когда напряжение равно нулю, равен нулю и ток; при максимуме напряжения ток тоже имеет максимум. Это и есть совпадение фаз, важное отличие резистора от катушки и конденсатора.

Пусть напряжение меняется по закону u(t) = Um sin(ωt), где Um — амплитуда, а ω — циклическая частота. Подставляя его в мгновенный закон Ома, получаем i(t) = (Um/R) sin(ωt) = Im sin(ωt), где Im = Um/R. В формуле тока аргумент синуса тот же, поэтому частота и фаза совпадают с напряжением. Меняется только амплитуда: чем больше R при заданном Um, тем меньше Im.

Ток и напряжение каждую секунду меняются, однако их действующие значения постоянны для установившегося синусоидального режима. Для обеих величин переход от амплитуды к действующему значению выполняется делением на √2. Поэтому из Im = Um/R следует I = U/R: множитель √2 сокращается с обеих сторон. Эта форма закона Ома удобна для расчётов, если известны именно действующие значения.

Мгновенная мощность равна p = ui. При совпадении фаз ток и напряжение имеют одинаковый знак, поэтому мощность не становится отрицательной: энергия всё время поступает в резистор и превращается в тепло. За период средняя мощность равна половине произведения амплитуд, P = UmIm/2. Так как Um = √2U и Im = √2I, получаем P = UI; подстановка закона Ома даёт также P = I²R = U²/R.

Величины в цепи переменного тока с резистором

Сначала выясни, какие значения даны в условии: мгновенные, амплитудные или действующие. Для синусоидального режима переходи от амплитуды к действующему значению делением на √2, а затем применяй соответствующую формулу таблицы. Если требуется мощность нагрева, используй среднее значение P, а не мгновенное p.

Разбор задач

Задача 1

К резистору сопротивлением 20 Ом приложено синусоидальное напряжение с действующим значением 100 В. Найдите действующее значение силы тока и среднюю мощность. Так как напряжение уже дано как действующее, переводить его в амплитуду не нужно. Используем закон Ома для действующих значений и формулу средней мощности.

1. Запишем данные: R = 20 Ом, U = 100 В.
2. Найдём ток: I = U/R = 100/20 = 5 А.
3. Вычислим среднюю мощность: P = UI = 100 · 5 = 500 Вт.

Ответ: I = 5 А, P = 500 Вт. Проверка по формуле P = U²/R даёт 100²/20 = 500 Вт, значит, результат согласуется с законом Ома.

Задача 2

Напряжение на резисторе задано формулой u(t) = 120 sin(100πt) В, сопротивление резистора равно 30 Ом. Запишите закон изменения силы тока, найдите частоту и действующие значения напряжения и тока. Здесь напряжение задано мгновенным законом, поэтому сначала найдём его амплитуду и частоту. Затем применим мгновенный закон Ома; фаза и частота тока останутся теми же.

1. Из формулы видно: Um = 120 В, ω = 100π рад/с, R = 30 Ом.
2. Амплитуда тока Im = Um/R = 120/30 = 4 А, поэтому i(t) = 4 sin(100πt) А.
3. Поскольку ω = 2πf, частота f = ω/(2π) = 100π/(2π) = 50 Гц.
4. Действующие значения: U = 120/√2 ≈ 84,9 В, I = 4/√2 ≈ 2,83 А.

Ответ: i(t) = 4 sin(100πt) А, f = 50 Гц, U ≈ 84,9 В, I ≈ 2,83 А. Частота тока совпадает с частотой напряжения, а значения I и U можно также проверить по I = U/R.

Задача 3

Резистор подключён к источнику переменного напряжения. За время 5 минут он выделил 180 кДж теплоты при действующем напряжении 120 В. Найдите сопротивление резистора и действующее значение тока. Выделившаяся теплота равна работе тока, а работа за время t выражается через среднюю мощность: Q = Pt. Сначала определим мощность, затем используем связь P, U, I и R.

1. Переведём единицы: Q = 180 000 Дж, t = 5 · 60 = 300 с.
2. Средняя мощность P = Q/t = 180 000/300 = 600 Вт.
3. Из P = U²/R получаем R = U²/P = 120²/600 = 24 Ом.
4. Действующий ток I = U/R = 120/24 = 5 А.

Ответ: R = 24 Ом, I = 5 А. Проверка: UI = 120 · 5 = 600 Вт, а за 300 с такая мощность выделит 600 · 300 = 180 000 Дж теплоты.

Типичные ошибки

Амплитудное напряжение подставляют в I = U/R, хотя в этой записи U и I — действующие значения. Ошибка появляется из-за того, что обозначения похожи и не всегда замечают тип заданной величины. Перед вычислением проверь, обозначена ли амплитуда индексом m; если да, используй Im = Um/R или сначала раздели Um на √2.

Иногда считают, что ток на резисторе отстаёт от напряжения, перенося на него свойства катушки или конденсатора. Для чистого резистора такого сдвига нет: мгновенный закон i = u/R связывает их в один и тот же момент. Проверь формулы: у u(t) и i(t) должны совпадать аргументы синуса.

Формулу P = UI могут ошибочно применять к мгновенным значениям без указания момента времени. Тогда произведение описывает мгновенную мощность p(t), которая изменяется в течение периода, а не её среднее значение. Для средней мощности используй действующие U и I или формулы P = I²R и P = U²/R.

Ещё одна ошибка — считать, что резистор изменяет частоту тока. Сопротивление влияет на амплитуду тока, но не на период его колебаний: при синусоидальном напряжении частоты равны. Убедись, что в законах u(t) и i(t) стоит одинаковый множитель при времени.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны закон Ома для участка цепи, понятия работы и мощности постоянного тока и запись гармонического колебания через синус. Закон Ома связывает ток с напряжением, а действующее значение позволяет применять знакомые формулы теплового действия к переменному току. Следующий шаг — цепи с конденсатором и катушкой: там появляются фазовые сдвиги и реактивное сопротивление.

Расчёты для резистора применяются в бытовых электрических цепях и нагревательных приборах. По напряжению и сопротивлению можно оценить ток и мощность, а по мощности и времени — количество выделившейся энергии. Эти же соотношения помогают понимать, сколько электроэнергии потребляет прибор.

Что запомнить

• На резисторе ток и напряжение совпадают по фазе.
• Частота тока в резисторе равна частоте приложенного напряжения.
• Мгновенный закон Ома имеет вид i = u/R.
• Для действующих значений справедливо I = U/R.
• Средняя мощность резистора равна P = UI = I²R = U²/R.
• Резистор не запасает энергию, а превращает её во внутреннюю энергию.
• Действующее значение переменного тока характеризует его тепловое действие.