§ 2.5. Действующие значения силы тока и напряжения

Определения и обозначения

Мгновенное значение силы переменного тока — сила тока в выбранный момент времени. Его обозначают i; при синусоидальном изменении, например, i = Iₘ sin ωt. Это значение показывает, что происходит в цепи сейчас.

Действующее значение силы тока I — сила постоянного тока, который за то же время выделил бы в том же резисторе такое же количество теплоты. Оно заменяет переменный ток при расчётах нагрева и мощности. Поэтому действующее значение не зависит от того, в какой момент сделано измерение.

Действующее значение напряжения U — напряжение постоянного тока, создающее в том же резисторе такое же тепловое действие. Оно связано с действующим током законом Ома. Именно это значение обычно используют в электротехнических расчётах.

Амплитудное значение — наибольшее по модулю значение переменного тока или напряжения. Его обозначают Iₘ и Uₘ. Амплитуда показывает размах колебаний, но сама по себе не равна тепловому эквиваленту сигнала.

Как это устроено

Для переменного тока недостаточно просто сложить его значения за период: положительные и отрицательные участки дадут взаимную компенсацию. Но нагрев резистора определяется законом Джоуля — Ленца, где количество теплоты пропорционально квадрату силы тока. Поэтому ток, направленный в противоположную сторону, не отменяет выделение теплоты.

Действующее значение получают сравнением тепловых эффектов. За один период находят количество теплоты, выделенное переменным током в резисторе, а затем подбирают такой постоянный ток, который за тот же период выделил бы столько же. Сила этого постоянного тока и называется действующим значением.

Математически для тока это означает усреднение квадрата мгновенного значения: I = √(среднее i² за период). Сначала каждое значение i возводят в квадрат, затем усредняют результаты и только после этого извлекают квадратный корень. Такой порядок сохраняет информацию о тепловом действии сигнала.

Для синусоидального тока i = Iₘ sin ωt среднее значение sin²ωt за период равно ½. Поэтому среднее значение квадрата тока равно Iₘ²/2, а действующее значение I = √(Iₘ²/2) = Iₘ/√2. Напряжение изменяется аналогично, поэтому U = Uₘ/√2.

Измерительные приборы обычно настроены так, чтобы их показания соответствовали тепловому действию тока. Поэтому амперметр и вольтметр переменного тока показывают действующие значения, а не максимальные отклонения. Для синусоидального сигнала по показанию прибора можно восстановить амплитуду, умножив его на √2.

Мгновенные, амплитудные и действующие значения переменного тока и напряжения

Сначала определите, о каком типе значения говорится в условии: мгновенном, амплитудном или действующем. Затем выберите соответствующую формулу из последнего столбца. Если сигнал не синусоидальный, используйте общее определение через среднее значение квадрата.

Разбор задач

Задача 1. Синусоидальный ток имеет амплитуду 4,0 А. Найдём его действующее значение. Поскольку форма сигнала синусоидальная, применяем стандартное соотношение.

1. Записываем формулу: I = Iₘ/√2.
2. Подставляем амплитуду: I = 4,0/√2 ≈ 2,8 А.
3. Округляем результат до двух значащих цифр, как и исходное значение.

Ответ: действующее значение тока равно 2,8 А.

Задача 2. Амперметр в цепи переменного тока показывает 3,0 А. Нужно найти амплитуду синусоидального тока. Показание прибора принимаем за действующее значение, поэтому используем обратную формулу.

1. Записываем связь амплитуды с действующим значением: Iₘ = √2I.
2. Подставляем показание прибора: Iₘ = √2 · 3,0 ≈ 4,2 А.
3. Проверяем результат: амплитуда должна быть больше действующего значения, и 4,2 А действительно больше 3,0 А.

Ответ: амплитуда тока равна 4,2 А.

Задача 3. Дано синусоидальное напряжение U = 220 В и сопротивление резистора R = 110 Ом. Требуется найти амплитуду напряжения и среднюю мощность. Сначала определим амплитуду, затем применим формулу мощности через действующие значения.

1. Находим амплитуду: Uₘ = √2U = 220√2 ≈ 311 В.
2. Средняя мощность резистора при переменном токе равна P = U²/R.
3. Подставляем данные: P = 220²/110 = 440 Вт.

Ответ: Uₘ ≈ 311 В, средняя мощность резистора равна 440 Вт.

Типичные ошибки

Среднее значение силы тока за период путают с действующим. Так происходит потому, что оба значения называют «средними», но действующее находят по среднему квадрату. Проверьте себя: для синусоиды обычное среднее равно нулю, а действующее должно быть положительным.

Иногда действующее значение приравнивают амплитуде. Ошибка возникает, если забыть, что амплитуда характеризует максимум, а действующее значение — тепловой эквивалент. Для синусоидального сигнала амплитуда в √2 раза больше действующего значения.

Формулу I = Iₘ/√2 применяют к сигналу любой формы. Её вывели из свойства синусоиды, поэтому для прямоугольного или искажённого сигнала результат может быть другим. Сначала выясните форму сигнала, а при сомнении используйте определение через среднее i².

Отрицательные полупериоды считают уменьшающими нагрев. Причина ошибки — перенос обычного сложения токов на закон Джоуля — Ленца. Возведение в квадрат делает вклад обоих полупериодов положительным.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны закон Ома и закон Джоуля — Ленца. Закон Ома связывает действующие ток и напряжение в резисторе, а закон Джоуля — Ленца объясняет, почему тепловой эффект определяется квадратом тока.

Нужно различать периодическое изменение синусоидальных величин, мгновенные и амплитудные значения. Без этого легко перепутать значение в конкретный момент с максимумом или тепловым эквивалентом.

Действующие значения применяют при расчёте цепей переменного тока и чтении показаний приборов. Через них находят мощность бытовых нагрузок и сравнивают переменный ток с постоянным.

Что запомнить

• Действующие значения характеризуют тепловое действие переменного тока и напряжения.
• Действующее значение определяют через среднее значение квадрата за период.
• Для синусоидального тока I = Iₘ/√2.
• Для синусоидального напряжения U = Uₘ/√2.
• Амперметр и вольтметр переменного тока обычно показывают действующие значения.
• Связь с амплитудой через √2 относится к синусоидальным сигналам.