§37. Векторные диаграммы для описания переменных тока и напряжений

Определения и обозначения

Векторная диаграмма — графическое представление синусоидальных тока и напряжения в виде векторов, длины которых задают амплитуды, а углы — фазы. Она позволяет сравнивать колебания и наглядно складывать величины одной частоты. По диаграмме можно увидеть фазовое соотношение, не сопоставляя отдельно значения тока и напряжения в каждый момент.

Вращающийся вектор — вектор, равномерно вращающийся с угловой частотой переменного тока; его проекция на выбранную ось изображает мгновенное значение величины. Это представление связывает вращение с синусоидальным изменением: проекция периодически растёт, уменьшается и меняет знак. Оно нужно, чтобы описывать гармоническое колебание геометрически.

Фаза колебания — аргумент синусоидальной зависимости, определяющий состояние переменного тока или напряжения в данный момент времени. Например, в выражении i = Iₘ sin(ωt + φ₀) фазой является ωt + φ₀. По фазе можно установить, на каком этапе колебания находится величина.

Сдвиг фаз — разность фаз тока и напряжения, показывающая, какая из величин опережает другую и на какой угол. Его изображают углом между соответствующими векторами. Знак и вывод об опережении зависят от принятого направления отсчёта фаз.

Как это устроено

Синусоидальный ток или напряжение можно представить проекцией равномерно вращающегося вектора. При вращении конец вектора движется по окружности, а его проекция на ось непрерывно меняется от максимума к минимуму и обратно. Именно такая периодическая смена значений характерна для гармонического закона, поэтому проекция воспроизводит его форму. Выбор синуса или косинуса зависит от того, какую ось и начальный момент приняли за исходные.

Длина вектора соответствует амплитуде, угловая скорость вращения — циклической частоте, а начальный угол — начальной фазе колебания. Большая длина означает больший наибольший модуль величины, но не задаёт значение в любой выбранный момент. Угловая скорость показывает, насколько быстро меняется положение вектора; за период он поворачивается на 2π, поэтому ω = 2π/T. Начальный угол нужен, чтобы учесть, в каком состоянии находилось колебание при начале отсчёта времени.

Если ток и напряжение имеют одинаковую частоту, их изображают векторами, вращающимися с одной угловой скоростью. Оба вектора за одинаковое время поворачиваются на одинаковый угол, поэтому угол между ними остаётся постоянным. Этот угол и показывает сдвиг фаз. Если частоты различаются, взаимное положение векторов меняется, и постоянным углом описать их фазовое соотношение уже нельзя.

По взаимному расположению векторов определяют, совпадают ли колебания по фазе или одна величина опережает другую. Сонаправленные векторы соответствуют нулевому сдвигу, а перпендикулярные — сдвигу по модулю π/2. Чтобы установить, кто именно опережает, сначала задают направление отсчёта углов и правило вращения. Иначе один и тот же угол можно прочитать с противоположным знаком.

При сложении синусоидальных напряжений одной частоты складывают соответствующие векторы. Это допустимо, потому что все слагаемые вращаются с одинаковой угловой скоростью, а сложение их проекций даёт проекцию суммы векторов. Длина результирующего вектора определяет амплитуду суммарного напряжения, а его направление — начальную фазу. Поэтому при разных фазах нельзя просто сложить амплитуды как обычные числа.

Фазовые соотношения тока и напряжения в простых цепях переменного тока

Сначала найдите в таблице нужный участок цепи, затем прочитайте, как расположены векторы, и проверьте, какая величина опережает. Для катушки и конденсатора фазовый сдвиг одинаков по модулю, но порядок опережения противоположен. Угол и направление следует читать с учётом принятого на диаграмме отсчёта фаз.

Разбор задач

1. Ток и напряжение с одинаковыми начальными фазами

Ток и напряжение имеют одинаковые начальные фазы и амплитуды 2 А и 10 В. Нужно изобразить их векторную диаграмму. Одинаковые начальные фазы означают, что векторы направлены одинаково. Амплитуды различаются, поэтому длины стрелок должны быть выбраны по разным масштабам для тока и напряжения.

1. Выберем масштаб для тока, например 1 см соответствует 1 А. Тогда вектор тока будет длиной 2 см.
2. Отдельно выберем масштаб напряжения, например 1 см соответствует 5 В. Тогда вектор напряжения будет длиной 2 см.
3. Нарисуем оба вектора из одной точки в одном направлении и подпишем их величины. Разные физические единицы не требуют общего масштаба.

Ответ: векторы сонаправлены; при выбранных масштабах длина каждого равна 2 см. Совпадение направлений показывает одинаковые начальные фазы, а выбранные масштабы сохраняют соответствие длин амплитудам.

2. Угол между векторами напряжения и тока

На диаграмме вектор напряжения повернут относительно вектора тока на π/2. Положительное направление отсчёта фаз задано против часовой стрелки. Нужно определить, какая величина опережает. Ориентированный угол важен: одного указания на прямой угол без направления вращения для такого вывода недостаточно.

1. Примем фазу вектора тока за исходную, а положительное направление поворота — против часовой стрелки.
2. Поворот от вектора тока к вектору напряжения на +π/2 означает, что фаза напряжения больше на π/2.
3. При одинаковой частоте большему фазовому углу соответствует более раннее достижение того же состояния колебания. Значит, напряжение опережает ток.

Ответ: напряжение опережает ток на π/2. Если бы задано противоположное направление поворота от тока к напряжению, вывод об опережении был бы другим.

3. Сумма двух синусоидальных напряжений

Два напряжения одной частоты имеют амплитуды 3 В и 4 В, а угол между их векторами равен π/2. Нужно найти амплитуду суммы и изобразить результирующий вектор. Поскольку векторы перпендикулярны, их можно рассматривать как катеты прямоугольного треугольника. Длина суммы будет гипотенузой, а направление окажется между исходными векторами.

1. Изобразим из одной точки векторы длиной 3 условные единицы и 4 условные единицы под прямым углом.
2. Найдём длину результирующего вектора по теореме Пифагора: Uₘ = √(3² + 4²) В = 5 В.
3. Проведём диагональ параллелограмма из общей точки. Она задаёт амплитуду 5 В и фазу суммарного напряжения.

Ответ: амплитуда суммы равна 5 В. Результирующий вектор направлен между исходными, причём ближе к вектору амплитудой 4 В.

Типичные ошибки

Путать длину вектора с мгновенным значением. Длина задаёт амплитуду, а мгновенное значение изображает проекция вектора на ось. Ошибку легко допустить, потому что обе характеристики связаны с размером стрелки. Проверьте себя: меняется ли мгновенная проекция при вращении, тогда как длина вектора остаётся постоянной?

Считать, что диаграмма показывает направление движения электрического тока. Векторы на ней представляют амплитуду и фазу гармонических величин, а не физическое направление движения зарядов в проводнике. Такое прочтение возникает из-за привычного слова «вектор». Проверьте смысл стрелки: она вращается на схеме и задаёт фазу, а её проекция — значение тока или напряжения.

Определять опережение без учёта направления отсчёта. Если не задано направление вращения и знак угла, нельзя однозначно сказать, какая величина опережает. Причина ошибки — восприятие угла между стрелками как обычного, неориентированного угла. Перед выводом отметьте положительное направление и проследите поворот от одного вектора к другому.

Складывать амплитуды арифметически при разных фазах. Такой способ подходит только в отдельных случаях, например когда векторы сонаправлены; при иных углах результат будет другим. Ошибка появляется, когда амплитуды принимают за мгновенные значения или не учитывают взаимное положение векторов. Постройте векторную сумму и проверьте, зависит ли её длина от угла между слагаемыми.

Связь с другими темами

Для чтения векторной диаграммы нужны знания о синусоидальных колебаниях, амплитуде, периоде, частоте и фазе: эти величины задают длину, скорость вращения и начальное положение вектора. Диаграммы применяют при анализе переменного тока в цепях с резистором, катушкой индуктивности и конденсатором, где фазовые соотношения различаются. Этот способ подготавливает к расчёту цепей переменного тока и сложению гармонических величин одной частоты. Векторное сложение позволяет учитывать фазу, которую нельзя отбросить при определении результирующего напряжения.

Что запомнить

• Проекция равномерно вращающегося вектора изменяется по гармоническому закону.
• Длина вектора задаёт амплитуду величины.
• Угловая скорость вращения вектора равна циклической частоте.
• Угол между векторами тока и напряжения задаёт сдвиг фаз.
• Складывать синусоидальные величины одной частоты удобно как векторы.
• Для вывода об опережении или отставании нужно учитывать направление отсчёта фаз.