§ 41. Активное сопротивление в цепи переменного тока

Определения и обозначения

Активное сопротивление — сопротивление, на котором энергия электрического тока необратимо превращается во внутреннюю энергию. Его обозначают буквой R, а измеряют в омах (Ом). Этот параметр показывает, насколько проводник препятствует току и сколько энергии он выделяет в виде тепла.

Активная нагрузка — участок цепи переменного тока, где проявляется только активное сопротивление. Примером служит резистор, в котором электрическая энергия не накапливается для последующего возврата в цепь. Такое представление удобно для расчёта нагревателей и других простых потребителей.

Мгновенная мощность — произведение мгновенных значений напряжения и силы тока: p(t) = u(t)i(t). Она показывает, с какой скоростью энергия передаётся нагрузке в конкретный момент. В отличие от средней мощности, её значение может меняться с течением времени.

Средняя мощность — мощность, усреднённая за один период колебаний. Для активного сопротивления она равна произведению действующих значений напряжения и силы тока: P = UI. Эта величина нужна для оценки реального энергопотребления прибора.

Как это устроено

На активном сопротивлении электрическая энергия не возвращается источнику, а переходит во внутреннюю энергию проводника. Частицы проводника сталкиваются, поэтому часть энергии упорядоченного движения зарядов превращается в нагрев. Сопротивление называют активным именно потому, что оно активно расходует энергию источника, а не только временно запасает её.

Пусть напряжение изменяется гармонически: u(t) = Uₘ sin ωt. Для каждого момента времени можно применить закон Ома: u(t) = i(t)R, откуда i(t) = Uₘ/R · sin ωt. Следовательно, ток тоже изменяется по гармоническому закону, а его амплитуда равна Iₘ = Uₘ/R.

В формулах для напряжения и тока стоит один и тот же множитель sin ωt, поэтому разность фаз равна нулю. Когда напряжение достигает максимума, ток также максимален; отрицательные максимумы и нулевые значения совпадают. Это отличает резистор от катушки и конденсатора, где между колебаниями возникают фазовые сдвиги.

Мгновенная мощность равна p(t) = u(t)i(t), поэтому она меняется вслед за изменением напряжения и тока. Когда оба значения положительны или оба отрицательны, их произведение положительно; при переходе через ноль мощность также обращается в ноль. Поскольку знаки всегда совпадают, мощность не становится отрицательной и энергия не возвращается от резистора к источнику.

За период усреднение мгновенной мощности даёт P = UI, где U и I — действующие значения. Подставляя I = U/R или U = IR, получаем три равные формы: P = UI = I²R = U²/R. Для синусоидальных величин действующие значения равны амплитудам, делённым на √2, поэтому в расчёте средней мощности нельзя подставлять амплитуды вместо U и I.

Активное сопротивление в цепях постоянного и переменного тока

Сначала определите, какие величины даны: постоянные, мгновенные, амплитудные или действующие. Затем выберите соответствующую форму закона Ома и формулу мощности. Таблица показывает, что различие между токами связано главным образом с изменением величин во времени, а расчёт активной нагрузки остаётся аналогичным.

Разбор задач

Задача 1

К резистору сопротивлением 20 Ом приложено постоянное напряжение 10 В. Требуется найти силу тока; это знакомая модель, с которой удобно сравнить расчёты для переменного тока.

1. Записываем данные: R = 20 Ом, U = 10 В.
2. Для постоянного тока применяем закон Ома: I = U/R.
3. Подставляем значения: I = 10/20 = 0,5 А.

Ответ: сила тока равна 0,5 А.

Задача 2

Резистор сопротивлением 40 Ом подключён к источнику переменного напряжения с действующим значением 120 В. Найдём действующий ток и среднюю мощность, поскольку именно эти величины характеризуют работу нагрузки за период.

1. Записываем: R = 40 Ом, U = 120 В.
2. По закону Ома для действующих значений I = U/R = 120/40 = 3 А.
3. Среднюю мощность вычисляем по формуле P = UI: P = 120 · 3 = 360 Вт.
4. Проверяем результат другой формулой: U²/R = 120²/40 = 360 Вт.

Ответ: I = 3 А, P = 360 Вт.

Задача 3

На резисторе сопротивлением 50 Ом напряжение задано законом u(t) = 100 sin(100πt) В. Нужно определить амплитуду тока, частоту и среднюю мощность, внимательно различая амплитудное и действующее значения.

1. Из записи закона видим: Uₘ = 100 В, ω = 100π рад/с.
2. Амплитуда тока равна Iₘ = Uₘ/R = 100/50 = 2 А.
3. Из ω = 2πf получаем f = 100π/(2π) = 50 Гц.
4. Действующие значения: U = 100/√2 В и I = 2/√2 А.
5. Средняя мощность P = U²/R = 100²/(2 · 50) = 100 Вт.

Ответ: Iₘ = 2 А, f = 50 Гц, P = 100 Вт.

Типичные ошибки

Фазовый сдвиг на четверть периода. Так рассуждают по аналогии с конденсатором, но для чистого активного сопротивления ток и напряжение синфазны. Проверьте одинаковые моменты нулей и максимумов в их формулах.

Подстановка амплитуды в P = UI. Амплитуда больше действующего значения в √2 раз, поэтому такая ошибка завышает мощность. Перед вычислением подпишите над величиной индекс m или убедитесь, что используются U и I без него.

Представление мгновенной мощности постоянной. Напряжение и ток меняются, значит, меняется и их произведение, хотя его среднее за период неизменно. Проверьте формулу p(t), а не только итоговое значение P.

Смешение активного и реактивного сопротивления. Реактивные элементы могут временно запасать и возвращать энергию, тогда как резистор превращает её во внутреннюю. Для проверки спросите себя, возвращается ли энергия источнику или расходуется на нагрев.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны закон Ома, гармонические колебания напряжения и тока, а также различие между амплитудным и действующим значениями. Без этих понятий трудно перейти от мгновенных величин к средней мощности.

Знание активного сопротивления нужно для расчёта мощности и энергопотребления бытовых приборов. Далее оно помогает изучать цепи переменного тока с катушкой и конденсатором, где появляются реактивное сопротивление и фазовые сдвиги.

Что запомнить

• Для активного сопротивления u(t) = i(t)R.
• Напряжение и сила тока совпадают по фазе.
• Амплитуды связаны соотношением Uₘ = IₘR.
• Мгновенная мощность p(t) = u(t)i(t) неотрицательна.
• Средняя мощность P = UI = I²R = U²/R, где U и I — действующие значения.
• Электрическая энергия на активном сопротивлении превращается во внутреннюю энергию.