§ 23. Катушка индуктивности в цепи переменного тока

Определения и обозначения

Катушка индуктивности — элемент электрической цепи, в котором при изменении тока возникает ЭДС самоиндукции. Эта ЭДС противодействует изменению тока, а величина L показывает, насколько заметно проявляется такое действие. Катушка нужна для управления переменным током и накопления энергии в магнитном поле.

Индуктивность L — физическая величина, характеризующая способность катушки создавать ЭДС самоиндукции при изменении тока. Чем больше L, тем сильнее проявляется это противодействие при одинаковом изменении тока. Единица измерения индуктивности — генри, обозначение Гн.

Индуктивное сопротивление Xₗ — величина, описывающая противодействие катушки переменному току. Оно зависит от индуктивности и частоты: Xₗ = ωL = 2πfL, где ω — циклическая частота, а f — частота тока. По этой формуле можно оценить, насколько катушка ограничивает ток.

Фаза колебаний определяет состояние периодического процесса в каждый момент времени. Для идеальной катушки напряжение опережает ток на π/2, поэтому ток называют отстающим по фазе. Знание сдвига фаз позволяет сравнивать мгновенные значения напряжения и тока.

Как это устроено

Переменный ток непрерывно меняет величину и направление, а значит, меняется и магнитное поле, созданное током в катушке. Изменение поля вызывает ЭДС самоиндукции, направленную так, чтобы препятствовать вызвавшему её изменению тока. Это следует из правила Ленца: индуцированное действие противодействует причине, которая его породила. Поэтому чем быстрее меняется ток, тем заметнее влияние самоиндукции.

Напряжение источника заставляет ток изменяться, но ЭДС самоиндукции мешает этому изменению. В результате ток не достигает максимума одновременно с напряжением: он запаздывает. Для синусоидального режима идеальной катушки запаздывание составляет четверть периода, или π/2 по фазе. Если напряжение представить как синусоиду, ток можно описать синусоидой, сдвинутой вправо на π/2.

Частота показывает, сколько полных колебаний происходит за секунду. При большей частоте ток меняется быстрее, поэтому магнитное поле также изменяется быстрее и ЭДС самоиндукции сильнее противодействует перемене тока. Вследствие этого возрастает индуктивное сопротивление катушки. При неизменной индуктивности удвоение частоты удваивает Xₗ.

Чтобы вычислить индуктивное сопротивление, используют формулу Xₗ = ωL = 2πfL. Циклическая частота ω связана с обычной частотой соотношением ω = 2πf, поэтому подстановка только f вместо ω дала бы неверный результат. Для идеальной катушки амплитуды напряжения и тока связаны формулой Uₘ = IₘXₗ. По ней можно найти ток, напряжение или сопротивление, если известны две другие величины.

Идеальная катушка не превращает полученную энергию в тепло. В одной части периода энергия накапливается в магнитном поле катушки, а в другой поле отдаёт энергию обратно источнику. За целый период суммарная энергия, полученная катушкой, равна энергии, возвращённой источнику. Поэтому средняя мощность за период равна нулю, хотя мгновенная мощность в разные моменты может быть ненулевой.

Переменный ток в идеальной катушке индуктивности

Сначала определите, какие величины известны и что требуется найти: частоту, индуктивность или сопротивление. Для расчёта Xₗ используйте частоту в герцах, а индуктивность — в генри. Соотношение амплитуд применяйте только к амплитудам, а для действующих значений используйте соответствующую пару величин.

Разбор задач

Задача 1

Катушка индуктивностью 0,20 Гн подключена к источнику переменного тока частотой 50 Гц. Найдите индуктивное сопротивление. Так как даны L и f, применяем Xₗ = 2πfL. Подстановка значений сразу даёт сопротивление в омах.

1. Записываем данные: L = 0,20 Гн, f = 50 Гц.
2. Вычисляем: Xₗ = 2π · 50 · 0,20 = 20π ≈ 62,8 Ом.

Ответ: Xₗ ≈ 63 Ом.

Задача 2

Катушка индуктивностью 0,10 Гн подключена к источнику частотой 100 Гц и действующим напряжением 220 В. Требуется найти действующее значение тока, считая катушку идеальной. Сначала находим индуктивное сопротивление, затем используем соотношение для действующих значений I = U/Xₗ. Важно не подставлять амплитудное напряжение вместо действующего: в условии дано именно действующее значение.

1. Находим сопротивление: Xₗ = 2π · 100 · 0,10 = 20π ≈ 62,8 Ом.
2. Находим ток: I = 220/62,8 ≈ 3,50 А.

Ответ: I ≈ 3,5 А.

Задача 3

Амплитуда напряжения на идеальной катушке равна 120 В, амплитуда тока — 2,0 А, частота — 50 Гц. Найдите индуктивность и определите, что произойдёт с амплитудой тока при удвоении частоты и неизменной амплитуде напряжения. Поскольку даны амплитуды, сначала найдём Xₗ по Uₘ = IₘXₗ. Затем выразим из Xₗ = 2πfL индуктивность.

1. Вычисляем сопротивление: Xₗ = Uₘ/Iₘ = 120/2,0 = 60 Ом.
2. Находим индуктивность: L = Xₗ/(2πf) = 60/(2π · 50) ≈ 0,191 Гн.
3. При удвоении частоты Xₗ удвоится, поэтому при прежнем Uₘ амплитуда тока Iₘ = Uₘ/Xₗ уменьшится вдвое: до 1,0 А.

Ответ: L ≈ 0,19 Гн; новая амплитуда тока равна 1,0 А.

Типичные ошибки

Ошибочно считать, что ток и напряжение в катушке совпадают по фазе. Это может казаться естественным, если мысленно переносить поведение резистора на катушку. В идеальной катушке ток отстаёт от напряжения на π/2. Проверьте ответ по фазовому соотношению, прежде чем записывать синусоиды.

Индуктивное сопротивление иногда принимают за активное и считают, что катушка постоянно рассеивает энергию. Причина ошибки — слово «сопротивление», общее для разных элементов цепи. Идеальная катушка возвращает источнику энергию, запасённую в магнитном поле, поэтому её средняя мощность за период равна нулю. Проверьте, говорится ли в задаче об идеальной катушке и о среднем значении мощности.

Ещё одна ошибка — использовать Xₗ = fL вместо правильного выражения Xₗ = 2πfL. Так происходит, когда частоту f путают с циклической частотой ω. Сначала запишите ω = 2πf, затем подставляйте её в Xₗ = ωL. Проверка: в итоговой формуле должен присутствовать множитель 2π.

Нельзя смешивать амплитудные и действующие значения напряжения и тока. Например, амплитуду напряжения нельзя делить на действующий ток, даже если обе величины указаны в условии. Используйте согласованную пару: амплитуды Uₘ и Iₘ либо действующие значения U и I. Перед вычислением подпишите, какие значения даны.

Связь с другими темами

Для понимания самоиндукции нужны закон электромагнитной индукции и правило Ленца: они объясняют происхождение ЭДС и направление её действия. Также важно уметь описывать синусоидальный переменный ток, различать период, частоту и амплитуду и находить действующее значение. Понятие сдвига фаз связывает графики напряжения и тока с их поведением в цепи. Эти знания пригодятся при изучении цепей с резистором и конденсатором, резонанса и электрических колебаний.

Что запомнить

• Изменение тока в катушке вызывает ЭДС самоиндукции.
• Индуктивность L измеряется в генри.
• Индуктивное сопротивление катушки равно Xₗ = ωL = 2πfL.
• При увеличении частоты индуктивное сопротивление возрастает.
• В идеальной катушке ток отстаёт от напряжения на π/2.
• Для идеальной катушки Uₘ = IₘXₗ.
• Средняя мощность идеальной катушки за период равна нулю.