§ 22. Мощность переменного тока

Определения и обозначения

Мгновенная мощность переменного тока — произведение мгновенных значений напряжения и силы тока: p(t) = u(t)i(t). Буква t указывает, что величина относится к определённому моменту времени. Поскольку напряжение и ток меняются, меняется и их произведение; оно может быть положительным или отрицательным.

Активная мощность — среднее значение мгновенной мощности за период колебаний. Её обозначают P и измеряют в ваттах (Вт). Именно эта величина показывает, сколько энергии в среднем за секунду передаётся потребителю и превращается, например, в тепло или механическую работу.

Действующие значения напряжения U и силы тока I — значения постоянных напряжения и тока, которые вызвали бы такое же тепловое действие, как переменные. Они позволяют описывать переменный ток с помощью привычных величин и применять формулы мощности. В формулах активной мощности используют именно действующие значения, а не амплитуды.

Коэффициент мощности — cos φ, характеризующий долю полной мощности, которая становится активной. Здесь φ — сдвиг фаз между изменениями тока и напряжения. Коэффициент показывает, насколько эффективно при данных U и I электрическая энергия передаётся в нагрузку и превращается в другие виды энергии.

Как это устроено

При синусоидальном токе и напряжении обе величины изменяются с одной частотой, то есть совершают одинаковое число колебаний за секунду. Но их максимумы могут приходиться на разные моменты: это и описывает сдвиг фаз φ. Если ток достигает максимума позже напряжения, говорят, что он отстаёт по фазе; при обратной последовательности он опережает напряжение. При совпадении фаз φ = 0.

Мощность в конкретный момент находят, умножая показания напряжения и тока в тот же момент: p(t) = u(t)i(t). Если напряжение и ток имеют одинаковый знак, произведение положительно: энергия передаётся источником нагрузке. Если знаки противоположны, мгновенная мощность отрицательна: часть энергии на время возвращается из цепи к источнику. Поэтому при сдвиге фаз мгновенная мощность не обязана всё время быть положительной.

За полный период колебаний система проходит через все значения напряжения и тока. Среднее значение произведения p(t) за этот период и есть активная мощность P. Для синусоидальных величин вычисление среднего с учётом сдвига фаз даёт формулу P = UI cos φ, где U и I — действующие значения. Множитель cos φ появляется потому, что при несовпадении фаз напряжение и ток не достигают больших значений одновременно.

У чисто активной нагрузки, например резистора, напряжение и ток совпадают по фазе. Тогда φ = 0 и cos 0 = 1, поэтому P = UI; по закону Ома это также можно записать как P = I²R. Энергия электрического поля в идеальном резисторе не возвращается в источник, а превращается в тепло. Поэтому средняя мощность связана с нагреванием сопротивления.

Катушка или конденсатор могут создавать сдвиг фаз: в них часть энергии периодически запасается в магнитном или электрическом поле, а затем возвращается в цепь. При одинаковых действующих U и I больший сдвиг означает меньший cos φ, а значит, меньшую активную мощность. Предельный случай — φ = π/2: cos φ = 0 и P = 0. Это не означает отсутствия тока или напряжения: энергия может обмениваться между источником и полем элемента, но её среднее превращение в тепло за период равно нулю.

Мощность переменного тока: величины и формулы

Сначала определите, какая мощность требуется: для средней за период используют P, а для отдельного момента — p(t). В формуле P = UI cos φ подставляйте действующие U и I, а затем учитывайте сдвиг фаз. Для резистора cos φ = 1, поэтому множитель можно опустить.

Разбор задач

Мощность резистора

На резисторе сопротивлением R измерены действующие напряжение U и сила тока I. Нужно найти активную мощность. Поскольку резистор — активная нагрузка, ток и напряжение совпадают по фазе. Обозначим неизвестную мощность через P.

1. Для активной нагрузки φ = 0, поэтому cos φ = 1.
2. Подставляем действующие значения в общую формулу: P = UI cos φ = UI.
3. Если известно сопротивление, по закону Ома U = IR можно получить равносильную запись P = I²R.

Ответ: P = UI = I²R. Выбирайте запись, для которой в условии есть необходимые данные: при известных U и I удобнее первое выражение, при известных I и R — второе.

Мощность прибора при сдвиге фаз

К прибору приложено синусоидальное напряжение с действующим значением U; известны действующий ток I и сдвиг фаз φ. Требуется определить активную мощность. Здесь ток и напряжение не обязательно совпадают по фазе, поэтому одного произведения UI недостаточно. Нужно учесть, какая доля полной мощности становится активной.

1. Записываем формулу для синусоидальных величин: P = UI cos φ.
2. Подставляем заданные действующие U, I и значение cos φ, соответствующее углу φ.
3. Вычисляем произведение и проверяем единицы: вольт, умноженный на ампер, даёт ватт.

Ответ: P = UI cos φ. Например, при cos φ = 0,8 активная мощность составляет 0,8 от произведения UI. Не нужно дополнительно делить на √2: переход к действующим значениям уже учтён в формуле.

Ток при заданной активной мощности

Прибор потребляет активную мощность P при напряжении U и коэффициенте мощности cos φ. Нужно найти силу тока и сравнить её со случаем cos φ = 1. Неизвестная величина — действующий ток, поэтому исходить следует из формулы активной мощности, а не из отношения P/U без проверки нагрузки.

1. Записываем P = UI cos φ.
2. Выражаем ток: I = P/(U cos φ).
3. При cos φ = 1 получаем I₁ = P/U. При меньшем коэффициенте мощности знаменатель U cos φ становится меньше, поэтому ток больше: I = I₁/cos φ.

Ответ: I = P/(U cos φ); по сравнению со случаем cos φ = 1 ток возрастает в 1/cos φ раз. При расчёте нельзя считать, что заданные P и U всегда позволяют найти ток как P/U: такой ответ верен только для нагрузки с единичным коэффициентом мощности.

Типичные ошибки

В P = UI cos φ иногда подставляют амплитудные значения вместо действующих. Так происходит из-за привычки описывать колебания амплитудой, но формула активной мощности уже записана через действующие величины. Проверьте себя: для синусоиды U = Uₘ/√2 и I = Iₘ/√2; если в условии указаны амплитуды, сначала переведите их.

Другая ошибка — считать P = UI при любой нагрузке. Так забывают, что при сдвиге фаз ток и напряжение не совпадают по времени, и их произведение за период в среднем меньше. Уточните тип нагрузки или найдите φ: без подтверждения, что cos φ = 1, используйте P = UI cos φ.

Иногда при φ = π/2 заключают, что тока и напряжения нет, потому что активная мощность равна нулю. Ноль относится к среднему превращению энергии за период, а не к самим U и I. Проверьте формулу: P = UI cos(π/2) = 0 возможно и при ненулевых действующих значениях.

Наконец, мгновенную мощность p(t) путают с активной мощностью P. Первая зависит от времени и может менять знак, вторая усредняет её за период. Чтобы проверить обозначение, посмотрите на условие: вопрос о конкретном моменте требует p(t), а вопрос о потреблении прибора в среднем — P.

Связь с другими темами

Для понимания мощности переменного тока нужны синусоидальные колебания, период, частота и фазовый сдвиг: без них нельзя описать изменение u и i и сравнить их фазы. Также пригодятся действующие значения и закон Ома, связывающий напряжение, ток и сопротивление. Эти знания объединяются в расчётах цепей переменного тока и электроприборов. Формула мощности помогает оценивать токи и потери при передаче электроэнергии.

Что запомнить

• Мгновенная мощность определяется произведением p(t) = u(t)i(t).
• Активная мощность — средняя мощность за период.
• Для синусоидального тока P = UI cos φ.
• В формулах активной мощности U и I — действующие значения.
• Для чисто активной нагрузки φ = 0 и cos φ = 1.
• При φ = π/2 активная мощность равна нулю.
• Активную мощность измеряют в ваттах.