§ 34. Катушка индуктивности в цепи переменного тока

Определения и обозначения

Катушка индуктивности — элемент цепи, в котором ток создаёт магнитное поле; при изменении тока возникает ЭДС самоиндукции. Эта ЭДС противодействует изменению тока, поэтому катушка влияет на то, как быстро меняется ток в цепи. Такое свойство особенно заметно при переменном токе, который всё время меняет величину и направление.

Индуктивность L — характеристика катушки, определяющая величину ЭДС самоиндукции при изменении тока; её единица измерения — генри (Гн). Чем больше индуктивность, тем сильнее катушка препятствует одинаково быстрому изменению тока. Значение L зависит от устройства катушки, например от числа витков и сердечника.

Индуктивное сопротивление Xₗ — сопротивление катушки переменному току, равное Xₗ = ωL = 2πνL. Здесь ω — циклическая частота, а ν — частота колебаний тока; Xₗ измеряется в омах. Эта величина позволяет применять закон Ома к катушке в цепи переменного тока.

Сдвиг фаз — различие фаз между напряжением на катушке и током через неё. Для идеальной катушки напряжение опережает ток на π/2, то есть на четверть периода. Понимание этого соотношения помогает правильно записывать зависимости напряжения и тока от времени.

Как это устроено

Когда переменный ток течёт через катушку, он периодически увеличивается, уменьшается и меняет направление. Вместе с током меняется магнитное поле катушки, а изменение поля вызывает ЭДС самоиндукции. По правилу Ленца она направлена так, чтобы противодействовать причине своего появления, то есть изменению тока. Поэтому катушка не даёт переменному току изменяться так же свободно, как в идеальном проводнике.

Для идеальной катушки мгновенное напряжение связано со скоростью изменения тока формулой u = L·di/dt. Производная di/dt показывает, насколько быстро меняется ток в данный момент, поэтому чем быстрее изменение, тем больше напряжение самоиндукции. Если ток синусоидальный, его скорость изменения сдвинута относительно самого тока на четверть периода. Отсюда следует, что напряжение на катушке опережает ток по фазе на π/2.

Индуктивное сопротивление выражается формулой Xₗ = ωL = 2πνL. При увеличении частоты направление и величина тока меняются чаще, а значит, катушка сильнее реагирует на эти изменения и создаёт большую ЭДС самоиндукции. Увеличение индуктивности тоже усиливает эффект самоиндукции. Поэтому при одной и той же частоте катушка с большим L имеет большее Xₗ, а при одной и той же катушке Xₗ возрастает с частотой.

Амплитуды напряжения и тока связаны соотношением Uₘ = IₘXₗ, а для действующих значений выполняется U = IXₗ. Это закон Ома для участка цепи с идеальной катушкой: если напряжение известно, ток можно найти делением напряжения на Xₗ. Амплитудные величины сравнивают только с амплитудными, а действующие — только с действующими. Так сохраняется смысл одного и того же соотношения и не возникает ошибки в √2.

В идеальной катушке нет сопротивления, которое превращало бы электрическую энергию в тепло. Пока ток нарастает, энергия запасается в магнитном поле; когда ток уменьшается, поле ослабевает и энергия возвращается источнику. Поэтому за полный цикл катушка не расходует энергию, хотя в разные моменты принимает её от источника и отдаёт обратно. Реальная катушка может нагреваться из-за сопротивления провода, но это свойство неидеальной модели.

График показывает, что ток отстаёт от напряжения на π/2: например, когда напряжение проходит через ноль и начинает возрастать, ток ещё достигает отрицательного максимума. Через четверть периода ток проходит через ноль, а напряжение достигает положительного максимума. Такое смещение повторяется в каждом цикле и не означает, что величины имеют разные частоты.

Идеальная катушка в цепи постоянного и переменного тока

Сравнивайте режимы по причине противодействия изменению тока и по тому, меняется ли ток во времени. Таблица относится к идеальной катушке: в реальной обмотке есть сопротивление провода, из-за которого возможен нагрев. Она также помогает не путать индуктивное сопротивление с обычным сопротивлением резистора.

Разбор задач

Задача 1. Индуктивное сопротивление

Катушка индуктивностью 0,20 Гн подключена к источнику переменного тока частотой 50 Гц. Нужно найти индуктивное сопротивление. Частота задана в герцах, а индуктивность — в генри, поэтому можно подставить их в формулу Xₗ = 2πνL.

1. Запишем формулу: Xₗ = 2πνL.
2. Подставим данные: Xₗ = 2π · 50 · 0,20.
3. Вычислим: Xₗ = 20π Ом ≈ 62,8 Ом.

Ответ: индуктивное сопротивление катушки примерно равно 63 Ом. Проверка здравого смысла: при заданной частоте сопротивление положительно, а произведение частоты на индуктивность имеет размерность, соответствующую ому после умножения на 2π.

Задача 2. Сила тока

К катушке с индуктивным сопротивлением 100 Ом приложено действующее напряжение 20 В. Требуется определить действующую силу тока. Так как оба значения действующие, применяем закон Ома для катушки без перехода к амплитудам.

1. Запишем связь действующих значений: U = IXₗ.
2. Выразим неизвестный ток: I = U/Xₗ.
3. Подставим данные: I = 20/100 А = 0,20 А.

Ответ: действующая сила тока равна 0,20 А. Если бы было дано амплитудное напряжение, для нахождения амплитуды тока нужно было бы использовать Uₘ = IₘXₗ, а не смешивать его с действующим значением.

Задача 3. Зависимость тока от времени

Катушка индуктивностью 0,10 Гн подключена к источнику, напряжение которого задано выражением u = 100 sin(200πt) В. Нужно найти амплитуду и действующее значение тока, а затем записать i(t). Число перед t в аргументе синуса — циклическая частота ω = 200π рад/с, а амплитуда напряжения Uₘ равна 100 В.

1. Найдём индуктивное сопротивление: Xₗ = ωL = 200π · 0,10 = 20π Ом ≈ 62,8 Ом.
2. Найдём амплитуду тока: Iₘ = Uₘ/Xₗ = 100/(20π) = 5/π А ≈ 1,59 А.
3. Для идеальной катушки ток отстаёт от напряжения на π/2, поэтому i(t) = Iₘ sin(200πt − π/2).
4. Действующий ток равен I = Iₘ/√2 ≈ 1,59/1,414 ≈ 1,13 А.

Ответ: Iₘ ≈ 1,59 А, I ≈ 1,13 А; i(t) = (5/π) sin(200πt − π/2) А. Минус π/2 в аргументе показывает, что ток отстаёт по фазе, а не опережает напряжение.

Типичные ошибки

Ошибка — считать Xₗ неизменным свойством катушки, как будто оно зависит только от её устройства. Такое впечатление возникает потому, что индуктивность L действительно задаётся характеристиками катушки. Но индуктивное сопротивление зависит ещё и от частоты: Xₗ = 2πνL. Проверка: при неизменном L удвоение частоты должно удвоить Xₗ.

Индуктивное сопротивление иногда принимают за активное сопротивление и считают, что катушка обязательно нагревается, рассеивая энергию. Путаница появляется из-за общего слова сопротивление и похожего закона связи напряжения с током. В идеальной катушке энергия запасается в магнитном поле и возвращается источнику, а не расходуется на нагрев. Проверяйте, идёт ли речь об идеальной катушке или о реальной обмотке с сопротивлением провода.

Неверно утверждать, что ток опережает напряжение на катушке. Это направление сдвига легко перепутать с поведением других элементов цепи или с тем, какая величина записана первой. Для идеальной катушки напряжение опережает ток на π/2, поэтому в записи тока относительно синусоидального напряжения появляется сдвиг −π/2. Проверить знак можно по графику: ток достигает максимума позже напряжения.

Нельзя подставлять амплитудное напряжение вместе с действующим током в формулу U = IXₗ. Ошибка возникает, когда величины выписывают из разных частей условия, не проверяя, что именно дано. Сначала обозначьте каждую величину индексом m или словом действующее; затем используйте пару Uₘ и Iₘ либо пару U и I. Для синусоидального тока действующее значение равно амплитудному, делённому на √2.

Связь с другими темами

Для понимания работы катушки нужны знания об электромагнитной индукции и правиле Ленца: ЭДС самоиндукции противодействует изменению тока. Также пригодятся синусоидальные величины, период и частота, а ещё умение различать амплитудные и действующие значения. Эти понятия позволяют объяснить и рассчитать поведение тока в катушке.

Далее модель катушки можно сопоставить с конденсатором и рассмотреть цепи переменного тока, содержащие оба элемента. Такое сопоставление приводит к изучению резонанса и электрических колебаний. Индуктивность становится одним из параметров, определяющих поведение колебательной системы.

Что запомнить

• Изменение тока в катушке вызывает ЭДС самоиндукции.
• Для идеальной катушки u = L·di/dt.
• Индуктивное сопротивление Xₗ = ωL = 2πνL.
• При увеличении частоты индуктивное сопротивление возрастает.
• В идеальной катушке напряжение опережает ток на π/2.
• Для амплитудных и действующих значений справедливо U = IXₗ.
• Идеальная катушка периодически запасает и возвращает энергию магнитного поля.