§ 35. Резонанс в электрической цепи

Определения и обозначения

Резонанс в электрической цепи — режим, при котором индуктивное и ёмкостное сопротивления равны по модулю и компенсируют друг друга. Индуктивное сопротивление X_L создаёт катушка, а ёмкостное X_C — конденсатор. Это понятие помогает определить, когда их влияние на ток перестаёт усиливать общий реактивный эффект цепи.

Резонансная частота — частота, при которой в цепи выполняется условие резонанса; для идеального контура ω₀ = 1/√(LC). Здесь ω₀ — циклическая частота, L — индуктивность катушки, C — ёмкость конденсатора. По этой формуле находят частоту, на которой цепь будет настроена на резонанс.

Полное сопротивление цепи учитывает активное сопротивление R и реактивные сопротивления катушки и конденсатора. Для последовательной цепи Z = √(R² + (ωL − 1/(ωC))²), где Z — полное сопротивление, а ω — циклическая частота источника. Формула нужна, чтобы по напряжению источника определить амплитуду тока и проследить, как она меняется с частотой.

Резонанс напряжений — явление, при котором при резонансе напряжения на катушке и конденсаторе могут значительно превышать напряжение источника. Они равны по модулю, но противоположны по фазе, поэтому их вклады в суммарное напряжение цепи компенсируются. Это понятие объясняет, почему отдельные элементы цепи могут испытывать большие напряжения даже при сравнительно небольшом напряжении источника.

Как это устроено

В последовательной цепи переменного тока катушка и конденсатор создают реактивные сопротивления, зависящие от частоты. Для катушки X_L = ωL: при увеличении частоты переменному току всё труднее менять магнитное поле, поэтому сопротивление растёт. Для конденсатора X_C = 1/(ωC): при высокой частоте заряд успевает быстрее изменяться, и ёмкостное сопротивление уменьшается.

Из-за противоположной зависимости X_L и X_C от частоты существует частота, на которой они становятся равными. Тогда X_L − X_C = 0, то есть реактивные составляющие полного сопротивления взаимно компенсируются. Поскольку оба элемента включены последовательно, через них проходит один и тот же ток, а напряжения на них направлены в противоположные стороны по фазе.

После компенсации в формуле полного сопротивления остаётся только активная составляющая: Z = R. Активное сопротивление связано с необратимым превращением электрической энергии, например, во внутреннюю энергию проводника; оно не компенсируется реактивными сопротивлениями. При неизменной амплитуде напряжения источника минимальное Z даёт максимальную амплитуду тока по закону Ома.

При резонансе ток совпадает по фазе с напряжением источника, поскольку суммарное реактивное действие цепи равно нулю. Энергия при этом периодически переходит из электрического поля конденсатора в магнитное поле катушки и обратно. Такое преобразование не означает, что энергия без потерь бесконечно накапливается: часть её расходуется на активном сопротивлении.

Ток в последовательной цепи один и тот же в каждом элементе, поэтому напряжения на катушке и конденсаторе могут быть большими одновременно. При резонансе эти напряжения равны по модулю и противоположны по фазе, так что их сумма компенсируется, а источник обеспечивает напряжение на активной части цепи. Чем меньше активное сопротивление, тем большими могут быть ток и реактивные напряжения; сопротивление ограничивает выраженность резонанса.

Режимы последовательной цепи переменного тока

Сравните частоту источника с резонансной и посмотрите, какое сопротивление преобладает. Если X_C больше X_L, цепь имеет ёмкостный характер, а если X_L больше X_C — индуктивный. В резонансном столбце указаны условия максимального тока и отсутствия сдвига фаз между током и напряжением источника.

Разбор задач

1. Резонансная частота контура

Условие. Катушка имеет индуктивность L = 0,20 Гн, а конденсатор — ёмкость C = 50 мкФ. Найдите резонансную частоту сначала в радианах в секунду, а затем в герцах. Нужно перевести ёмкость в фарады и не смешать циклическую частоту с частотой ν.

1. Переведём ёмкость: 50 мкФ = 50 · 10⁻⁶ Ф = 5 · 10⁻⁵ Ф.
2. Подставим значения в формулу: ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,20 · 5 · 10⁻⁵) = 1/√(10⁻⁵) ≈ 316 рад/с.
3. Переведём результат в герцы: ν₀ = ω₀/(2π) ≈ 316/6,28 ≈ 50 Гц.

Ответ: ω₀ ≈ 316 рад/с, ν₀ ≈ 50 Гц. Проверка единиц полезна: формула с ω₀ даёт циклическую частоту, а для герц обязательно деление на 2π.

2. Амплитуда тока при заданной частоте

Условие. Последовательно соединены резистор, катушка и конденсатор; известны R, L, C, циклическая частота ω и амплитуда напряжения источника Uₘ. Требуется найти амплитуду тока. Числовые значения в условии не заданы, поэтому ответ запишем через указанные величины.

1. Сначала найдём реактивные сопротивления: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
2. Вычислим полное сопротивление Z = √(R² + (X_L − X_C)²). Разность важна: реактивные действия катушки и конденсатора направлены противоположно.
3. По закону Ома для амплитуд получим Iₘ = Uₘ/Z = Uₘ/√(R² + (ωL − 1/(ωC))²).

Ответ: Iₘ = Uₘ/√(R² + (ωL − 1/(ωC))²). Если подкоренное выражение реактивной части равно нулю, это означает резонанс; при прочих равных ток тогда наибольший.

3. Максимальный ток и напряжения элементов

Условие. Для последовательной цепи заданы R, L, C и амплитуда напряжения источника Uₘ. Найдите частоту, при которой ток максимален, затем максимальную амплитуду тока и напряжения на катушке и конденсаторе. Числовых значений нет, поэтому выразим искомые величины через параметры цепи.

1. Максимум тока достигается при условии X_L = X_C, то есть ω₀L = 1/(ω₀C). Отсюда ω₀ = 1/√(LC), а частота в герцах ν₀ = ω₀/(2π).
2. В резонансе Z = R, поэтому Iₘ = Uₘ/R. Здесь R ограничивает ток, так что его амплитуда не становится бесконечной.
3. Напряжения на элементах равны U_L = Iₘω₀L и U_C = Iₘ/(ω₀C). Так как при резонансе ω₀L = 1/(ω₀C), их амплитуды равны, хотя могут превышать Uₘ.

Ответ: ω₀ = 1/√(LC), ν₀ = 1/(2π√(LC)), Iₘ = Uₘ/R; U_L = U_C = Iₘω₀L. Равенство напряжений элементов по модулю не означает, что каждое из них равно напряжению источника: в сумме реактивные напряжения компенсируются.

Типичные ошибки

Считать, что при резонансе исчезают сопротивления катушки и конденсатора. Так можно подумать, заметив, что реактивная часть полного сопротивления равна нулю. На деле компенсируются именно реактивные сопротивления, а активное R остаётся; проверьте себя по формуле Z = √(R² + (X_L − X_C)²): при резонансе Z = R, а не ноль.

Путать ω₀ и ν₀. Обе величины описывают частоту, но ω₀ измеряется в радианах в секунду, а ν₀ — в герцах. Ошибка возникает, когда формулу ω₀ = 1/√(LC) сразу считают результатом в герцах; проверка проста: ν₀ = ω₀/(2π).

Утверждать, что напряжения на катушке и конденсаторе равны напряжению источника. При резонансе равны по модулю напряжения катушки и конденсатора, а не каждое из них и напряжение источника. Их вклады противоположны по фазе и компенсируются; это можно проверить, сравнив напряжения как векторы, а не складывая только их модули.

Считать, что ток при резонансе бесконечен. Это следствие ошибочного предположения, что полное сопротивление исчезает целиком. В реальной цепи остаётся активное сопротивление, и при резонансе Iₘ = Uₘ/R; подставьте R в формулу, чтобы увидеть конечное значение тока.

Связь с другими темами

Для изучения резонанса нужны закон Ома для цепи переменного тока, понятия амплитуды и сдвига фаз, а также формулы индуктивного и ёмкостного сопротивлений. Они позволяют перейти от поведения отдельных элементов к полному сопротивлению цепи и току. Резонанс применяют при настройке радиоприёмников: изменение параметров контура помогает выделить нужную частоту. Эта тема связана с колебательными контурами и электромагнитными колебаниями, где рассматривают обмен энергией катушки и конденсатора.

Как выглядит изменение тока около резонансной частоты:

Что запомнить

• Условие резонанса: X_L = X_C.
• Резонансная циклическая частота ω₀ = 1/√(LC).
• При резонансе полное сопротивление последовательной цепи минимально и равно R.
• При резонансе амплитуда тока в последовательной цепи максимальна.
• Ток и напряжение источника при резонансе совпадают по фазе.
• Напряжения на катушке и конденсаторе могут во много раз превышать напряжение источника.