§ 2.11. Резонанс в электрической цепи

Определения и обозначения

Резонанс в электрической цепи — резкое возрастание амплитуды вынужденного тока при совпадении частоты источника с собственной частотой цепи. В последовательной цепи RLC это проявляется особенно ясно: ток достигает максимума. Явление позволяет выбирать или усиливать сигналы нужной частоты.

Резонансная частота — частота, при которой индуктивное и ёмкостное сопротивления последовательной цепи равны. Обозначают угловую частоту через ω₀, а обычную частоту — через f₀. Знание этой частоты позволяет настроить источник на наиболее сильный ток.

Полное сопротивление цепи — величина, учитывающая активное, индуктивное и ёмкостное сопротивления переменному току. Его обозначают Z; оно определяет ток по закону Ома I = U/Z. В отличие от постоянного тока, реактивные сопротивления зависят от частоты и учитывают фазовые сдвиги.

Резонанс напряжений — режим последовательной цепи, при котором напряжения на катушке и конденсаторе могут значительно превышать напряжение источника. Это не нарушает закон сохранения энергии: напряжения направлены навстречу по фазе и взаимно компенсируются. Термин подчёркивает большой эффект именно на реактивных элементах.

Как это устроено

В последовательной цепи RLC ток проходит через резистор, катушку и конденсатор один за другим, поэтому во всех элементах он одинаков. Катушка препятствует изменению тока: при увеличении частоты её индуктивное сопротивление Xₗ = ωL растёт. Конденсатор, напротив, легче пропускает быстрые изменения, поэтому его сопротивление Xс = 1/(ωC) с ростом частоты уменьшается.

Катушка и конденсатор не только ограничивают ток, но и сдвигают напряжение по фазе относительно тока. Их действия противоположны: катушка создаёт индуктивный, а конденсатор — ёмкостный сдвиг. Поэтому в полном сопротивлении учитывается разность Xₗ − Xс, а не сумма этих величин.

Если Xₗ = Xс, реактивные действия элементов равны по величине и противоположны по фазе. Энергия, запасённая в магнитном поле катушки, обменивается с энергией электрического поля конденсатора, не создавая общего реактивного сопротивления. Цепь в этот момент ведёт себя по отношению к источнику как активная, хотя катушка и конденсатор продолжают обмениваться энергией.

Закон Ома для последовательной цепи имеет вид I = U/Z, где Z = √(R² + (Xₗ − Xс)²). Приравняем сопротивления: ωL = 1/(ωC), откуда ω²LC = 1 и ω₀ = 1/√(LC). Обычная резонансная частота равна f₀ = 1/(2π√(LC)).

При резонансе разность реактивных сопротивлений равна нулю, поэтому Z = R — это минимальное возможное сопротивление данной цепи. При неизменном напряжении ток I = U/R становится максимальным и совпадает по фазе с напряжением источника. Напряжения на катушке и конденсаторе могут быть большими, поскольку каждое равно току, умноженному на соответствующее реактивное сопротивление, а их фазовые векторы направлены противоположно.

Режимы работы последовательной цепи RLC

Чтобы пользоваться таблицей, сначала сравните частоту источника с ω₀ или сравните Xₗ и Xс. Слева от резонанса цепь имеет ёмкостный характер, справа — индуктивный. В центральном столбце находятся признаки резонанса: минимальное Z, максимальный ток и отсутствие фазового сдвига.

Разбор задач

Задача 1

Последовательная цепь содержит L = 0,20 Гн и C = 50 мкФ. Требуется найти резонансную частоту. Используем формулу для обычной частоты, поскольку ответ нужен в герцах.

1. Переведём ёмкость: C = 50 · 10⁻⁶ Ф.
2. Вычислим произведение LC = 0,20 · 50 · 10⁻⁶ = 10⁻⁵.
3. Подставим значения: f₀ = 1/(2π√10⁻⁵) ≈ 50,3 Гц.

Ответ: f₀ ≈ 50 Гц.

Задача 2

Дано R = 6 Ом, L = 0,10 Гн, C = 100 мкФ, U = 12 В и f = 40 Гц. Найдём полное сопротивление, ток и фазовый сдвиг. Считаем значения напряжения и тока действующими.

1. ω = 2πf ≈ 251,3 рад/с; Xₗ = ωL ≈ 25,1 Ом, Xс = 1/(ωC) ≈ 39,8 Ом.
2. Разность равна Xₗ − Xс ≈ −14,7 Ом, поэтому Z = √(6² + (−14,7)²) ≈ 15,8 Ом.
3. I = U/Z = 12/15,8 ≈ 0,76 А. Угол сдвига φ определяется формулой tg φ = (Xₗ − Xс)/R ≈ −2,44, откуда φ ≈ −67,7°.

Ответ: Z ≈ 15,8 Ом, I ≈ 0,76 А; ток опережает напряжение примерно на 67,7°, поскольку цепь ёмкостная.

Задача 3

В цепи R = 10 Ом, L = 0,20 Гн, C = 50 мкФ, напряжение источника U = 20 В, а частота резонансная. Нужно найти ток и напряжения на катушке и конденсаторе. На резонансе реактивные сопротивления одинаковы.

1. При резонансе Z = R, поэтому I = U/R = 20/10 = 2 А.
2. ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(10⁻⁵) ≈ 316,2 рад/с.
3. Xₗ = ω₀L ≈ 63,2 Ом, значит Uₗ = IXₗ ≈ 126,5 В. Так как Xс = Xₗ, Uс ≈ 126,5 В.

Ответ: I = 2 А, Uₗ = Uс ≈ 126,5 В. Каждое напряжение больше напряжения источника, но они противоположны по фазе и компенсируются.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что резонанс возникает при равенстве сопротивления катушки и резистора. Резистор создаёт активное сопротивление и не компенсирует катушку. Проверьте условие Xₗ = Xс, а не Xₗ = R.

Нельзя записывать полное сопротивление как R + Xₗ + Xс. Реактивные сопротивления имеют разные фазовые действия, поэтому входят как разность внутри квадрата: Z = √(R² + (Xₗ − Xс)²). Самопроверка проста: при Xₗ = Xс формула должна давать Z = R.

Иногда резонанс связывают с максимальным сопротивлением. В последовательной цепи всё наоборот: реактивная часть обнуляется, Z минимально, а ток максимален. Проверьте себя по закону Ома I = U/Z.

Неверно утверждать, что напряжение на элементе обязательно меньше напряжения источника. На резонансе Uₗ и Uс могут быть значительно больше U, потому что складываются противофазно. Сравнивать нужно не отдельные модули, а векторную сумму напряжений.

Связь с другими темами

До изучения резонанса нужны закон Ома для переменного тока, понятия фазы и фазового сдвига, а также формулы сопротивлений резистора, катушки и конденсатора. Эти знания объясняют, почему сопротивления нельзя складывать без учёта фазы. Они же позволяют вычислять ток в цепи.

Резонанс связан с вынужденными и собственными колебаниями: максимальный отклик возникает при совпадении частот. По той же причине он похож на механический резонанс маятника или пружинной системы. Активное сопротивление играет роль потерь, ограничивающих амплитуду.

Практически резонанс используют при настройке радиоприёмников, в фильтрах, генераторах и измерительных цепях. Изменяя L или C, выбирают нужную частоту. Малое активное сопротивление делает настройку более избирательной.

Что запомнить

• Резонанс возникает при совпадении частоты источника с собственной частотой цепи.
• Условие резонанса в последовательной цепи: Xₗ = Xс.
• Резонансная частота определяется формулой ω₀ = 1/√(LC).
• При резонансе полное сопротивление цепи минимально и равно активному сопротивлению.
• Сила тока при резонансе максимальна и совпадает по фазе с напряжением источника.
• Напряжения на катушке и конденсаторе при резонансе равны по модулю и противоположны по фазе.
• Чем меньше активное сопротивление цепи, тем более резко выражен резонанс.