§ 25. Резонанс в электрической цепи

Определения и обозначения

Резонанс в электрической цепи — резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний тока, когда частота внешнего напряжения совпадает с собственной частотой цепи. Вынужденными называют колебания, поддерживаемые источником. Это понятие помогает понять, почему на одной частоте цепь пропускает ток гораздо сильнее.

Резонансная частота — частота, при которой индуктивное и ёмкостное сопротивления равны. Для циклической частоты ω₀ = 1/√(LC), а для обычной частоты ν₀ = 1/(2π√(LC)). По этой формуле можно заранее определить, на какую частоту настроится цепь.

Резонансная кривая — график зависимости амплитуды силы тока от частоты внешнего напряжения. Её максимум показывает резонансную частоту, а ширина пика — насколько узко цепь выделяет частоты около неё. Такой график наглядно показывает изменение режима при настройке источника.

Добротность характеризует выраженность резонанса. Чем больше добротность, тем выше и уже максимум резонансной кривой, то есть тем сильнее цепь реагирует на узкий диапазон частот. Для последовательной цепи часто используют формулу Q = ω₀L/R.

Как это устроено

Рассмотрим последовательную цепь из резистора, катушки и конденсатора. Резистор создаёт активное сопротивление R и необратимо рассеивает энергию в виде теплоты, а катушка и конденсатор создают реактивные сопротивления. Поэтому полное сопротивление имеет вид Z = √(R² + (Xₗ − X꜀)²): реактивные составляющие входят с разными знаками.

При увеличении частоты ток быстрее меняется, поэтому катушка сильнее препятствует этому изменению: Xₗ = ωL возрастает. У конденсатора при той же причине уменьшается X꜀ = 1/(ωC), поскольку он успевает зарядиться и разрядиться за более короткое время. Значит, при изменении частоты разность Xₗ − X꜀ обязательно может пройти через ноль.

На частоте резонанса выполняется Xₗ = X꜀. Энергия, запасённая в магнитном поле катушки, и энергия электрического поля конденсатора переходят друг в друга, а их сопротивления компенсируются в общей цепи. Поэтому Z становится минимальным: Z = R, и при неизменной амплитуде напряжения ток достигает максимума по закону Ома.

В резонансном режиме ток и напряжение источника совпадают по фазе, потому что суммарное реактивное сопротивление равно нулю. Напряжение на катушке опережает ток по фазе, а на конденсаторе отстаёт от него на такой же угол. Их векторы направлены противоположно, поэтому в сумме они компенсируются, хотя каждое напряжение по отдельности может быть очень большим.

Активное сопротивление определяет, сколько энергии теряется за цикл и насколько высоким получится ток. При малом R потери невелики, поэтому пик резонансной кривой высокий и узкий. При большом R ток ограничен сильнее, а широкий низкий максимум означает, что цепь реагирует на более широкий диапазон частот.

Режимы последовательной цепи переменного тока

Чтобы пользоваться таблицей, сначала сравните Xₗ и X꜀ или определите, выше ли частота источника резонансной. Затем по соответствующей колонке установите характер цепи, её сопротивление и фазовый сдвиг. В центральной колонке собраны признаки резонанса.

Разбор задач

Задача 1

Катушка имеет L = 0,20 Гн, конденсатор — C = 50 мкФ. Требуется найти резонансную частоту. Переведём ёмкость: 50 мкФ = 50·10⁻⁶ Ф, потому что в формулу входят единицы СИ.

1. Вычислим произведение LC: 0,20·50·10⁻⁶ = 10⁻⁵ с².
2. Найдём корень: √(LC) ≈ 0,003162 с.
3. Подставим данные: ν₀ = 1/(2π·0,003162) ≈ 50,3 Гц.

Ответ: резонансная частота примерно равна 50 Гц.

Задача 2

При частоте 100 Гц Xₗ = 30 Ом, X꜀ = 50 Ом, R = 10 Ом, а амплитуда напряжения Uₘ = 20 В. Сначала найдём не ток, а полное сопротивление, поскольку катушка и конденсатор не скомпенсированы. Их разность равна 30 − 50 = −20 Ом.

1. Z = √(10² + (30 − 50)²) = √500 ≈ 22,36 Ом.
2. По закону Ома для амплитуд Iₘ = Uₘ/Z = 20/22,36 ≈ 0,89 А.

Ответ: Z ≈ 22,4 Ом, Iₘ ≈ 0,89 А. Отрицательная разность сопротивлений показывает ёмкостной характер цепи, но в формуле для Z важен её квадрат.

Задача 3

Дано: L = 0,10 Гн, C = 100 мкФ, R = 5 Ом, Uₘ = 10 В. Нужно найти частоту, ток при резонансе и добротность. Сначала вычислим собственную циклическую частоту, а затем переведём её в обычную частоту.

1. ω₀ = 1/√(0,10·100·10⁻⁶) ≈ 316,2 рад/с.
2. ν₀ = ω₀/(2π) ≈ 50,3 Гц.
3. При резонансе Z = R, поэтому Iₘ = Uₘ/R = 10/5 = 2 А.
4. Q = ω₀L/R = 316,2·0,10/5 ≈ 6,32.

Ответ: ν₀ ≈ 50,3 Гц, Iₘ = 2 А, Q ≈ 6,3.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что при резонансе исчезают сопротивления катушки и конденсатора. Компенсируются только их реактивные сопротивления, а активное сопротивление резистора и проводов остаётся. Проверка проста: в формуле Z при резонансе должно получиться Z = R, а не Z = 0.

Ошибка: путать ν₀ и ω₀. Циклическая частота измеряется в рад/с, обычная — в герцах, поэтому ν₀ = ω₀/(2π). Если при переходе забыть 2π, результат обычной частоты будет завышен.

Ошибка: утверждать, что напряжение на каждом элементе равно напряжению источника. На катушке и конденсаторе напряжения могут быть намного больше, потому что при резонансе ток велик, а их реактивные сопротивления могут быть значительными. Нужно рассматривать напряжения элементов отдельно, а не только их сумму.

Ошибка: считать ток бесконечным. В идеализированной модели без активных потерь такое рассуждение возможно, но реальная цепь всегда имеет сопротивление. Если R указано, максимальный ток проверяют по формуле Iₘ = Uₘ/R.

Связь с другими темами

Для изучения резонанса нужны закон Ома для цепи переменного тока, понятия амплитуды и действующего значения, а также формулы индуктивного и ёмкостного сопротивлений. Без них трудно связать фазовые эффекты с расчётом полного сопротивления. Эти знания позволяют перейти от отдельных элементов к работе всей цепи.

Резонанс связан со свободными и вынужденными колебаниями. Свободная система имеет собственную частоту, а внешний источник заставляет её колебаться с заданной частотой. Максимальный отклик возникает при совпадении этих частот.

Знание резонанса необходимо при изучении колебательных контуров и радиотехники. Настраивая L или C, можно выбрать нужную частоту приёма сигнала. Тот же принцип применяют в фильтрах и электронных устройствах.

Что запомнить

• Резонанс возникает, когда частота источника совпадает с собственной частотой цепи.
• Условие резонанса в последовательной цепи: Xₗ = X꜀.
• Резонансная циклическая частота: ω₀ = 1/√(LC).
• При резонансе полное сопротивление минимально и равно R.
• Амплитуда тока при резонансе максимальна: Iₘ = Uₘ/R.
• Чем меньше активное сопротивление, тем острее выражен резонанс.