§ 30. Уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре. Период свободных электрических колебаний

Определения и обозначения

Колебательный контур — цепь из конденсатора и катушки индуктивности, в которой могут происходить электрические колебания. Для описания свободных колебаний обычно рассматривают идеальный контур и пренебрегают сопротивлением проводов и катушки. Такая модель позволяет проследить обмен энергией без её потерь на нагрев.

Свободные электрические колебания — периодические изменения заряда, напряжения и силы тока после того, как контур вывели из равновесия, например зарядили конденсатор. Внешний периодический источник во время колебаний не действует. Это понятие помогает отличить собственные колебания контура от вынужденных, которые поддерживаются внешним воздействием.

Период свободных электрических колебаний — время, за которое заряд и ток проходят полный цикл изменений и возвращаются к прежним значениям. Период обозначают T и измеряют в секундах. Он нужен, чтобы сравнивать скорость колебаний и рассчитывать, сколько времени занимает заданное число циклов.

Собственная циклическая частота — величина ω₀, которая показывает, насколько быстро меняется фаза свободных колебаний. Её значение задаётся параметрами контура — индуктивностью L и ёмкостью C. По ω₀ можно найти период, а также записать закон изменения заряда и тока во времени.

Как это устроено

Сначала конденсатор заряжают, поэтому между его обкладками есть напряжение и запасена энергия электрического поля. Когда обкладки соединяют через катушку, заряд начинает перемещаться, и в цепи появляется ток. По мере разрядки конденсатора напряжение и электрическая энергия уменьшаются, зато ток и энергия магнитного поля катушки растут. Так электрическое поле становится источником энергии для магнитного поля.

Разряд конденсатора не означает мгновенного исчезновения тока: в катушке уже создано магнитное поле, связанное с током. При ослаблении этого поля возникает ЭДС самоиндукции, которая противодействует изменению тока. Поэтому ток продолжает течь и после того, как заряд на конденсаторе стал равен нулю. Он переносит заряд на обкладки в обратном направлении и заряжает конденсатор с противоположной полярностью.

Затем обратное напряжение начинает поддерживать ток уже в противоположном направлении. Магнитное поле катушки ослабевает, а энергия возвращается в электрическое поле конденсатора; после этого процесс повторяется. В идеальном контуре суммарная энергия сохраняется: она не исчезает, а переходит между электрической энергией конденсатора и магнитной энергией катушки. Именно такой обмен делает колебания периодическими.

Чтобы получить уравнение колебаний, учитывают напряжение на конденсаторе U = q/C и ЭДС самоиндукции, связанную со скоростью изменения тока. С учётом закона электромагнитной индукции и отсутствия потерь получается q″ + q/(LC) = 0. Здесь q — заряд конденсатора, L — индуктивность катушки, C — ёмкость, а q″ — вторая производная заряда по времени. Это уравнение описывает гармонические колебания, подобные движению тела под действием возвращающей силы.

Решение уравнения имеет вид q = qₘ cos(ω₀t + φ), где qₘ — амплитуда заряда, φ — начальная фаза, а ω₀ — собственная циклическая частота. Поскольку ток равен скорости изменения заряда, i = dq/dt, его закон получается дифференцированием: при выбранной записи q ток пропорционален −sin(ω₀t + φ). Поэтому максимальный заряд соответствует нулевому току, а максимальный по модулю ток — прохождению заряда через ноль.

Изменение величин в идеальном колебательном контуре

Сначала выбери величину, которую требуется найти, и найди её закон изменения или связь с другими величинами в таблице. Чтобы определить ток по заряду, используй производную, а напряжение находи делением заряда на ёмкость. Для периода достаточно знать L и C: амплитуда заряда в эту формулу не входит.

Разбор задач

Задача 1

Конденсатор ёмкостью 4 мкФ соединён с катушкой индуктивностью 0,25 Гн. Найдём период свободных колебаний. Применим формулу Томсона T = 2π√(LC), предварительно выразив обе величины в единицах СИ. Это важно, поскольку формула даёт период в секундах именно при подстановке фарад и генри.

1. Переведём ёмкость: C = 4 мкФ = 4·10⁻⁶ Ф; индуктивность уже дана в генри: L = 0,25 Гн.
2. Перемножим параметры: LC = 0,25·4·10⁻⁶ = 10⁻⁶.
3. Вычислим корень и период: T = 2π√(10⁻⁶) = 2π·10⁻³ с ≈ 6,3·10⁻³ с.

Ответ: период равен примерно 6,3 мс. Полученное значение — несколько миллисекунд, что согласуется с микрофарадной ёмкостью и обычным масштабом параметров такого контура.

Задача 2

Заряд изменяется по закону q = 6·10⁻⁶ cos(500t) Кл. Требуется определить амплитуду заряда, циклическую частоту и период. Сравним запись с общей формой q = qₘ cos(ω₀t + φ): коэффициент перед косинусом задаёт амплитуду, а коэффициент при t внутри косинуса — циклическую частоту. Начальная фаза здесь равна нулю.

1. Сопоставление формул даёт qₘ = 6·10⁻⁶ Кл и ω₀ = 500 рад/с.
2. Период находим по формуле T = 2π/ω₀.
3. Подставляем частоту: T = 2π/500 ≈ 0,0126 с = 12,6 мс.

Ответ: амплитуда заряда 6 мкКл, циклическая частота 500 рад/с, период примерно 12,6 мс. Единица рад/с относится к циклической частоте, а период выражен в секундах.

Задача 3

Период контура равен 2,0 мс, ёмкость — 5,0 мкФ. Найдём индуктивность, а затем выясним, как изменится период при увеличении ёмкости в четыре раза. В формуле Томсона неизвестна L, поэтому сначала возведём равенство в квадрат и выразим её. Для второго вопроса удобнее сравнить периоды до и после изменения C.

1. Переведём величины: T = 2,0·10⁻³ с, C = 5,0·10⁻⁶ Ф.
2. Из T = 2π√(LC) получаем L = (T/(2π))²/C.
3. Подстановка даёт L ≈ (2,0·10⁻³/6,28)²/(5,0·10⁻⁶) ≈ 0,020 Гн.
4. Так как T пропорционален √C, увеличение C в 4 раза увеличит период в √4 = 2 раза.

Ответ: индуктивность катушки примерно 0,020 Гн, новый период будет вдвое больше исходного и составит 4,0 мс. При неизменной индуктивности изменение ёмкости в четыре раза не означает такого же изменения периода: действует квадратный корень.

Типичные ошибки

Подстановка ёмкости в микрофарадах или индуктивности в миллигенри без перевода в СИ приводит к ошибке на несколько порядков. Такое часто происходит, когда приставку к единице измерения забывают превратить в степень десяти. Перед расчётом запиши C в фарадах, L в генри, а ожидаемый ответ — в секундах; затем проверь порядок результата.

Иногда считают, что период зависит от амплитуды начального заряда. Амплитуда действительно определяет максимальный заряд и ток, но в уравнении q″ + q/(LC) = 0 частота задаётся только L и C. Проверь себя, сопоставив найденную формулу с T = 2π√(LC): если в ней остался qₘ, значит при выводе или подстановке допущена ошибка.

Циклическую частоту ω₀ путают с обычной частотой ν, потому что обе описывают быстроту колебаний. Однако ν показывает число циклов в секунду, а ω₀ — скорость изменения фазы в радианах за секунду; они связаны равенством ω₀ = 2πν. Проверка проста: при известном периоде ν = 1/T, а ω₀ = 2π/T.

Ещё одна ошибка — считать, что заряд и ток одновременно достигают максимума. Заряд максимален, когда его скорость изменения, то есть ток, равна нулю; наибольший ток возникает при прохождении заряда через ноль. Чтобы проверить ответ, представь законы q ∝ cos(ω₀t) и i ∝ −sin(ω₀t): максимум одной величины не совпадает с максимумом другой.

Связь с другими темами

Для понимания контура нужны закон сохранения энергии, ёмкость конденсатора, индуктивность катушки и связь заряда, напряжения и тока. Они позволяют описать, где запасена энергия и как электрические величины связаны между собой. Если эти понятия знакомы, переход к уравнению колебаний становится последовательным.

Объяснение перезарядки конденсатора опирается на закон электромагнитной индукции и явление самоиндукции. Изменение тока меняет магнитное поле катушки, а возникающая ЭДС влияет на дальнейшее движение зарядов. Поэтому колебательный контур объединяет свойства конденсатора и катушки в едином процессе.

Модель контура помогает понять, как возникают и изменяются электрические сигналы. Она пригодится при изучении электромагнитных волн, радиотехники и вынужденных электрических колебаний. В реальных цепях есть сопротивление и потери, поэтому идеальную модель дополняют, когда требуется описать затухание или действие внешнего источника.

Что запомнить

• В идеальном колебательном контуре энергия периодически переходит из электрической в магнитную и обратно.
• Уравнение свободных колебаний заряда: q″ + q/(LC) = 0.
• Собственная циклическая частота контура: ω₀ = 1/√(LC).
• Период свободных электрических колебаний: T = 2π√(LC).
• Увеличение L или C приводит к увеличению периода.
• Заряд и сила тока изменяются гармонически и сдвинуты по фазе на четверть периода.