§ 32. Активное сопротивление. Действующие значения силы тока и напряжения

Определения и обозначения

Активное сопротивление — сопротивление участка цепи переменного тока, на котором электрическая энергия превращается во внутреннюю энергию, например в тепло. Его обозначают R и измеряют в омах (Ом). Оно показывает, насколько участок препятствует току и сколько энергии рассеивается в нём.

Мгновенные значения силы тока и напряжения — величины в определённый момент времени; их обозначают строчными буквами i и u. Переменный ток и напряжение меняются, поэтому для описания цепи недостаточно назвать одно постоянное значение. Мгновенные значения позволяют узнать, что происходит в цепи в выбранный момент.

Амплитудные значения — наибольшие значения тока и напряжения за период. Их обозначают Iₘ и Uₘ. Амплитуда показывает максимальный размах изменения величины, но сама по себе не говорит, какой постоянный ток дал бы такой же нагрев.

Действующие значения силы тока и напряжения — значения постоянного тока и напряжения, при которых в том же сопротивлении выделяется такая же средняя мощность, как при переменных. Их обозначают I и U. Именно действующие значения позволяют сравнивать переменный ток с постоянным по тепловому действию.

Как это устроено

На активном сопротивлении ток и напряжение изменяются синфазно: их максимумы и переходы через ноль приходятся на одни и те же моменты. Причина в том, что резистор не запасает энергию периодически в электрическом или магнитном поле, а рассеивает её. Если напряжение возрастает, ток возрастает вместе с ним; когда напряжение меняет знак, ток тоже меняет знак. Поэтому между их изменениями нет временного сдвига.

Для каждого момента закон Ома записывается как u = iR. Если R постоянно, то отношение u/i остаётся равным R, даже когда обе величины меняются во времени. Например, увеличение мгновенного напряжения в несколько раз вызывает такое же увеличение мгновенного тока. Если напряжение синусоидально, ток тоже синусоидален и достигает максимума одновременно с ним; для амплитуд получается Uₘ = IₘR.

Тепловое действие нельзя оценить по среднему значению тока за период. У синусоидального тока положительная половина периода компенсирует отрицательную, и среднее значение i равно нулю. Но выделяемая мощность на резисторе связана с квадратом тока: p = i²R. Квадрат и положительной, и отрицательной величины положителен, поэтому нагрев продолжается в течение всего периода.

Действующий ток находят, сравнивая тепловое действие переменного тока с действием постоянного. За одинаковое время постоянный ток I должен выделить столько же энергии, сколько переменный ток с амплитудой Iₘ. Для синусоиды среднее значение квадрата тока за период равно Iₘ²/2, поэтому I² = Iₘ²/2. Извлекая квадратный корень, получаем I = Iₘ/√2.

С напряжением рассуждают аналогично: его действующее значение связано с амплитудой формулой U = Uₘ/√2, если напряжение синусоидально. На активном сопротивлении закон Ома выполняется и для действующих значений: U = IR. Поэтому, зная действующее напряжение и сопротивление, можно найти действующий ток, а затем при необходимости перейти к амплитуде. Эти соотношения применимы к синусоидальным величинам.

Характеристики силы тока и напряжения при синусоидальном токе на активном сопротивлении

Сначала определите, какие именно значения даны в условии: мгновенные, амплитудные или действующие. Затем применяйте соответствующую строку таблицы, не подменяя амплитуду действующим значением. Закон Ома можно использовать для каждой пары соответствующих величин.

Разбор задач

Задача 1. На резисторе сопротивлением 20 Ом действует постоянное напряжение 10 В. Найти силу тока. Здесь значения постоянны, поэтому достаточно обычного закона Ома для участка цепи. Сопротивление показывает, насколько ток ограничен при данном напряжении.

1. Записываем данные: R = 20 Ом, U = 10 В.
2. По закону Ома I = U/R, то есть I = 10/20 = 0,5 А.
3. Проверяем размерность: вольт, делённый на ом, даёт ампер.

Ответ: сила тока равна 0,5 А. Полученное значение означает, что при таком напряжении через резистор проходит ток в половину ампера. Этот пример также показывает, что активное сопротивление подчиняется закону Ома.

Задача 2. Амплитуда синусоидального тока равна 4 А. Найти его действующее значение. Искомое значение характеризует тепловой эффект, а не максимальный ток. Поскольку ток синусоидальный, применима формула связи действующего значения с амплитудой.

1. Записываем амплитуду: Iₘ = 4 А.
2. Используем формулу I = Iₘ/√2: I = 4/√2 ≈ 2,8 А.
3. Сравниваем результат с амплитудой: действующее значение меньше максимального, как и должно быть.

Ответ: I ≈ 2,8 А. Это такой постоянный ток, который в том же сопротивлении выделял бы за равное время столько же теплоты. Округление выполнено до десятых долей ампера.

Задача 3. К резистору сопротивлением 50 Ом приложено синусоидальное напряжение с амплитудой 100 В. Найти действующие значения напряжения и силы тока, а также амплитуду тока. Сначала нужно перевести амплитудное напряжение в действующее, потому что закон Ома для действующих значений использует U и I. Затем можно найти ток и восстановить его амплитуду.

1. Находим действующее напряжение: U = Uₘ/√2 = 100/√2 ≈ 70,7 В.
2. Применяем закон Ома: I = U/R = 70,7/50 ≈ 1,41 А.
3. Находим амплитуду тока: Iₘ = I√2 ≈ 1,41√2 ≈ 2,0 А. Проверка по амплитудам даёт Uₘ/R = 100/50 = 2 А.

Ответ: U ≈ 70,7 В, I ≈ 1,41 А, Iₘ = 2,0 А. Проверка подтверждает, что результаты согласуются с законом Ома для амплитудных значений. При вычислениях важно не делить действующее напряжение на сопротивление, а затем ошибочно считать полученный ток амплитудным.

Типичные ошибки

Ошибка: считать среднее значение синусоидального тока за период действующим. Среднее равно нулю из-за взаимной компенсации положительной и отрицательной половин периода, но нагрев определяется квадратом тока. Эту ошибку допускают, когда путают усреднение самого тока с усреднением его теплового действия. Проверьте себя: если бы действующий ток был нулём, резистор не нагревался бы.

Ошибка: приравнивать действующее значение амплитуде. Амплитуда показывает максимум, а действующее значение — эквивалентный по нагреву постоянный ток или напряжение. Для синусоиды действующее значение в √2 раза меньше амплитуды. Проверка проста: подставьте известное значение в I = Iₘ/√2 или U = Uₘ/√2.

Ошибка: применять I = Iₘ/√2 к несинусоидальному току. Формула получена из усреднения квадрата именно синусоиды, поэтому для другой формы сигнала результат может отличаться. Ошибка возникает, если считать коэффициент √2 универсальным. Уточните форму тока и используйте её закон изменения, прежде чем выбирать связь между амплитудой и действующим значением.

Ошибка: считать, что на активном сопротивлении ток опережает или отстаёт от напряжения. Такой сдвиг не возникает: при постоянном R мгновенные значения связаны равенством u = iR. Путаница может появиться при переносе свойств других элементов цепи на резистор. Проверьте, совпадают ли моменты максимумов и переходов через ноль: на активном сопротивлении они совпадают.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны закон Ома, понятия силы тока и напряжения, а также представление о синусоидальном изменении величин. Закон Ома связывает напряжение, ток и сопротивление, а синусоида позволяет различать мгновенные значения, амплитуды и действующие значения. Понимание этих понятий помогает не смешивать разные способы описания одного переменного процесса.

Эти знания применяются при изучении цепей переменного тока и работы измерительных приборов. Амперметры и вольтметры обычно показывают действующие значения, поэтому их показания не совпадают с амплитудой синусоиды. Действующие значения также нужны при расчёте потребляемой электрической мощности и теплового действия тока.

Что запомнить

• Активное сопротивление превращает электрическую энергию во внутреннюю, в том числе тепловую.
• На активном сопротивлении ток и напряжение синфазны.
• Для мгновенных значений выполняется u = iR.
• Для синусоидального тока I = Iₘ/√2.
• Для синусоидального напряжения U = Uₘ/√2.
• Действующие значения характеризуют тепловое действие переменного тока.
• Для действующих значений на активном сопротивлении U = IR.