"Физика (базовый и профильный уровни)", Тихомирова С.А., Яворский Б.М.
В специальной теории относительности длина тела и промежуток времени между событиями зависят от движения наблюдателя. Это нужно учитывать, когда скорости становятся сравнимы со скоростью света: привычные измерения уже не совпадают. Собственное время измеряют там, где события происходят в одной точке, а собственную длину — в системе покоя тела. Для других систем результаты связывает коэффициент Лоренца γ: время увеличивается, а длина вдоль движения сокращается.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Собственное время — промежуток между двумя событиями, измеренный часами, покоящимися относительно этих событий; его обозначают Δt₀. Чтобы такие часы находились рядом с обоими событиями, они должны происходить в одной точке выбранной системы. Это определение помогает понять, какое время служит исходным при сравнении измерений разных наблюдателей.
Собственная длина — длина тела, измеренная в системе отсчёта, где тело покоится; обозначение — l₀. В этой системе концы тела можно измерить одновременно, не учитывая его перемещение. Собственная длина нужна как эталон для сравнения с длиной движущегося тела.
Релятивистское замедление времени — увеличение измеренного промежутка времени для событий, происходящих с движущимся объектом: Δt = γΔt₀. Здесь Δt₀ — собственное время, а Δt — промежуток в системе, где объект движется. Это соотношение позволяет пересчитать показания часов при переходе между системами отсчёта.
Релятивистское сокращение длины — уменьшение длины тела вдоль направления движения относительно его собственной длины: l = l₀/γ. В формуле l₀ относится к системе покоя тела, а l — к системе, в которой оно движется. Это определение показывает, почему при сравнении длин важно указать и направление, и систему измерения.
В классической физике часто считают, что время для всех наблюдателей течёт одинаково, а длина тела неизменна. В специальной теории относительности так не получается, потому что скорость света одинакова для наблюдателей, движущихся равномерно друг относительно друга. Чтобы этот постулат выполнялся, наблюдатели должны по-разному оценивать одновременность удалённых событий. Именно поэтому измерения времени и длины зависят от системы отсчёта, а не от ошибки прибора.
Связь измерений задаёт коэффициент γ = 1/√(1 − v²/c²), где v — относительная скорость систем, а c — скорость света. При увеличении v знаменатель уменьшается, поэтому γ растёт и становится больше единицы; скорость тела при этом не может достичь c. Если v значительно меньше c, отношение v²/c² мало, и γ близок к единице. Тогда релятивистские поправки почти незаметны, что объясняет успех привычных формул при обычных скоростях.
Представим часы, которые движутся мимо наблюдателя. Между двумя событиями, произошедшими в месте этих часов, движущиеся вместе с ними часы показывают собственный промежуток Δt₀: события в их системе происходят в одной точке. Наблюдатель, относительно которого часы движутся, измеряет этот процесс иначе и получает Δt = γΔt₀. Причина не в неисправности или замедлении механизма: различие возникает из-за связи времени и пространства в разных системах.
Чтобы измерить длину движущегося тела, наблюдатель фиксирует координаты обоих его концов одновременно в своей системе. Одновременность здесь обязательна: если измерить концы в разные моменты, тело успеет переместиться, и результат не будет его длиной в выбранной системе. Полученная длина вдоль движения равна l = l₀/γ, поэтому она меньше длины в системе покоя тела. При движении поперечные размеры не сокращаются, поскольку формула относится только к продольному направлению.
Формулы времени и длины описывают разные способы измерения и не противоречат друг другу. Для времени сравнивают два события, а для длины — положения концов тела, зафиксированные одновременно. В обеих формулах используется один и тот же γ, но он умножает собственное время и делит собственную длину. При v → 0 коэффициент стремится к единице, поэтому измеренные значения приближаются к собственным.
| Величина | Собственное значение | Измерение в системе, где объект движется | Формула связи |
|---|---|---|---|
| Промежуток времени между событиями | Собственное время Δt₀: события происходят в одной точке системы отсчёта | Δt: часы в системе наблюдателя движутся относительно места событий | Δt = γΔt₀ |
| Длина тела | Собственная длина l₀: тело покоится в системе отсчёта | l: длина измерена вдоль движения тела | l = l₀/γ |
| Коэффициент γ | γ = 1/√(1 − v²/c²) | γ ≥ 1 при 0 ≤ v < c | Зависит от относительной скорости v |
Сначала найдите, какое значение в задаче является собственным: для времени это события в одной точке, для длины — тело в покое. Затем выберите формулу, соответствующую искомой величине, и вычислите γ по относительной скорости. Проверка проста: измеренное время не меньше собственного, а продольная длина не больше собственной.
Космический аппарат движется со скоростью 0,60c, а часы на борту показывают 4,0 с. Найдём промежуток, соответствующий этому времени в земной системе. Сначала важно определить собственное время: события, например два сигнала от часов, происходят в одной точке системы аппарата. Значит, Δt₀ = 4,0 с, а земной наблюдатель измеряет Δt = γΔt₀.
Ответ: в земной системе проходит 5,0 с. Значение больше показания бортовых часов, потому что для земного наблюдателя эти часы движутся.
Собственная длина стержня равна 10 м, а его скорость относительно наблюдателя — 0,80c вдоль оси стержня. Собственная длина известна, потому что она задана для системы покоя стержня; требуется найти длину в системе, где стержень движется. Здесь применяем сокращение продольной длины l = l₀/γ, а не формулу для времени. Сначала определим коэффициент Лоренца, затем разделим на него 10 м.
Ответ: наблюдатель измерит длину около 6,0 м. Результат меньше 10 м, поскольку стержень движется вдоль своей оси.
В лаборатории между событиями прошло 5,0 мкс, а часы, движущиеся вместе с местом этих событий, показали 3,0 мкс. Поскольку оба события происходят в одной точке системы движущихся часов, именно 3,0 мкс — собственное время Δt₀. Лаборатория измеряет большее значение, поэтому Δt = 5,0 мкс и Δt₀ = 3,0 мкс. Сначала найдём γ из отношения промежутков, затем выразим скорость.
Ответ: собственное время равно 3,0 мкс, скорость системы часов относительно лаборатории — 0,80c. Такой порядок решения не позволяет случайно принять большее лабораторное время за собственное.
Ошибочно считать собственным время наблюдателя только потому, что он выбрал свою систему неподвижной. Собственное время определяется не субъективным выбором наблюдателя, а тем, происходят ли оба события в одной точке его системы. Путаница появляется, когда не проверяют расположение событий. Для проверки представьте часы, которые могли бы находиться рядом с обоими событиями и измерить промежуток непосредственно.
Собственную длину иногда принимают за длину, измеренную движущимся наблюдателем. Но l₀ относится именно к системе покоя тела, тогда как в движущейся системе измеряют l. Ошибка возникает, если подставить в формулу длину, не выяснив, как она была измерена. Перед вычислением подпишите исходные данные: собственная длина l₀ или измеренная длина l.
Нельзя применять сокращение к размеру поперёк движения. Формула l = l₀/γ описывает только длину вдоль направления движения, а не все размеры предмета. Обычно ошибку провоцирует представление, будто тело во всех направлениях одинаково сжимается. Проверьте ориентацию: если размер перпендикулярен скорости, он не сокращается.
Ещё одна ошибка — переставить γ в формулах и получить для движущихся часов меньшее время или для движущегося тела большую длину. Это происходит, когда обе зависимости запоминают как одинаковое умножение. Проверка по смыслу устраняет ошибку: Δt = γΔt₀ больше собственного времени, а l = l₀/γ меньше собственной длины при γ > 1.
Для изучения относительности длины и времени нужны понятия системы отсчёта, относительной скорости и события. Также важно понимать одновременность и знать постулат о постоянстве скорости света: без него не объяснить, почему наблюдатели по-разному сопоставляют события. Эти идеи связывают измерения в разных системах и позволяют определить, какие величины являются собственными.
Эффекты замедления времени помогают разбирать парадокс близнецов и задачи о движении частиц и космических аппаратов. Коэффициент Лоренца встречается и в релятивистском сложении скоростей. Поэтому умение различать собственное и измеренное значения становится основой для последующих тем специальной теории относительности.
Почему разные наблюдатели измеряют разную длительность одного и того же процесса?
Наблюдатели, движущиеся друг относительно друга, по-разному определяют, какие события произошли одновременно. Поэтому измеренные ими промежутки времени могут различаться. При больших скоростях это различие описывает коэффициент γ.
Какие события позволяют определить собственное время?
Это два события, происходящие в одной точке некоторой системы отсчёта. Промежуток между ними измеряют часами, покоящимися в этой точке. Такой промежуток обозначают Δt₀.
В какой системе отсчёта измеряют собственную длину тела?
В системе отсчёта, где тело покоится. В ней можно измерить положения обоих концов тела одновременно. Полученная длина обозначается l₀.
Сокращаются ли размеры тела поперёк направления движения?
Нет, релятивистское сокращение относится только к размеру вдоль движения. Поперечные размеры тела не изменяются.
Как понять, какой промежуток времени больше — собственный или измеренный наблюдателем?
Собственный промежуток Δt₀ не больше измеренного в системе, относительно которой часы движутся: Δt = γΔt₀. Поскольку γ ≥ 1, наблюдатель получает большее или равное значение.
§ 52. Относительность длины и промежутков времени
