Преобразование скоростей

Определения и обозначения

Инерциальные системы отсчёта — системы, в которых тело при отсутствии действующих на него сил покоится или движется равномерно и прямолинейно. Одно и то же тело могут наблюдать из систем, движущихся друг относительно друга, и измеренные скорости будут различаться. Поэтому, говоря о скорости, всегда уточняют, относительно какой системы её определили. Это позволяет правильно описать движение при смене наблюдателя.

Преобразование скоростей — правило, связывающее компоненты скорости тела в двух инерциальных системах отсчёта. Пусть S′ движется вдоль оси x относительно S, а компоненты скорости тела в S обозначены ux и uy, в S′ — u′x и u′y. Такое правило нужно, чтобы пересчитать результат измерения одного наблюдателя в результат, который получит другой. При больших скоростях это уже не обычное сложение и вычитание.

Релятивистский закон сложения скоростей для движения вдоль одной прямой имеет вид u′x = (ux − v) / (1 − uxv / c²). Здесь ux — скорость тела в системе S, v — скорость системы S′ относительно S, c — скорость света, а u′x — скорость тела в S′. Знак перед v зависит от направления движения системы. Формула нужна, когда скорости сравнимы с c и классическое правило даёт неверный результат.

Лоренц-фактор γ = 1 / √(1 − v² / c²) показывает, насколько существенны релятивистские эффекты при относительной скорости систем v. В частности, поперечную компоненту можно записать как u′y = uy / γ(1 − uxv / c²). При малом v по сравнению с c фактор γ близок к единице, но при больших скоростях заметно влияет на результат. Он помогает увидеть, почему поперечная скорость тоже меняется.

Как это устроено

Чтобы измерить скорость, наблюдатель сравнивает изменение координаты с промежутком времени. При переходе от S к S′ меняются и координаты одного события, и временные интервалы между событиями, потому что пространство и время преобразуются совместно. Поэтому нельзя просто вычесть скорость системы из скорости тела, как это делают в классической механике. Такое вычитание не учитывает изменение времени измерения.

Связь компонент получают из преобразований Лоренца: x′ = γ(x − vt), y′ = y, t′ = γ(t − vx / c²). Для малого перемещения тело проходит Δx и Δy за время Δt, а в системе S′ соответствующие приращения равны Δx′ = γ(Δx − vΔt), Δy′ = Δy и Δt′ = γ(Δt − vΔx / c²). Делим приращение каждой координаты на Δt′ и используем ux = Δx / Δt, uy = Δy / Δt. После сокращения γ получаются формулы для продольной и поперечной компонент скорости.

Для движения вдоль оси x результат деления имеет вид u′x = (ux − v) / (1 − uxv / c²). Вычитание v в числителе соответствует выбору, при котором S′ движется в положительном направлении x относительно S. Если S′ движется в противоположную сторону, v отрицательно, и формула автоматически меняет знак. Знаменатель возникает из преобразования времени: Δt′ зависит от продольного перемещения Δx тела.

Для поперечной компоненты делим Δy′ на Δt′ и получаем u′y = uy√(1 − v² / c²) / (1 − uxv / c²). В числителе стоит корень, обратный γ, а знаменатель тот же, что и в формуле для u′x. Хотя координата y сама не меняется при таком переходе, время, за которое наблюдатель измеряет поперечное перемещение, меняется. Кроме того, преобразование времени зависит от ux, поэтому поперечная скорость связана и с продольным движением.

При скоростях, намного меньших c, величина uxv / c² мала, а √(1 − v² / c²) близок к единице. Тогда для продольного движения остаётся приближение u′x ≈ ux − v — классическое правило относительной скорости. Если же тело движется со скоростью света вдоль оси x, подстановка ux = c даёт u′x = c. Значит, преобразование сохраняет скорость света и согласуется с её одинаковым значением во всех инерциальных системах.

Преобразование скорости при переходе из S в S′

В таблице указаны формулы для движения систем вдоль оси x; v — скорость S′ относительно S, а ux и uy заданы в S. Сначала определите направление движения S′ и задайте знак v, затем подставьте компоненты скорости тела. Для проверки результата сравните его с классическим пределом или убедитесь, что модуль скорости не превышает c.

Разбор задач

Задача 1. Система S′ движется вдоль оси x со скоростью 0,1c относительно S. Тело покоится в S. Нужно найти скорость тела в S′. Покой в S означает, что обе компоненты скорости тела равны нулю; направление оси x считаем положительным в сторону движения S′.

1. Для движения вдоль прямой используем формулу u′x = (ux − v) / (1 − uxv / c²).
2. Подставляем ux = 0 и v = 0,1c: u′x = (0 − 0,1c) / 1 = −0,1c.
3. Минус показывает, что относительно S′ тело движется в сторону, противоположную движению системы. Это ожидаемо: система уезжает вперёд, а покоящееся тело остаётся позади.

Ответ: u′x = −0,1c.

Задача 2. В S тело движется вдоль оси x со скоростью 0,6c, а S′ — в том же направлении со скоростью 0,5c. Найдём скорость тела в S′. Хотя оба движения направлены одинаково, нельзя просто вычислить разность скоростей, потому что они велики по сравнению с c.

1. Используем продольную формулу и подставляем ux = 0,6c, v = 0,5c: u′x = (0,6c − 0,5c) / (1 − 0,6 · 0,5).
2. В знаменателе получаем 1 − 0,3 = 0,7, поэтому u′x = 0,1c / 0,7 ≈ 0,143c.
3. Положительный знак означает, что тело в S′ продолжает двигаться вдоль +x. Ответ меньше c, как и должно быть.

Ответ: u′x ≈ 0,143c.

Задача 3. S′ движется вдоль оси x со скоростью 0,6c. В S у тела ux = 0,5c и uy = 0,4c. Требуется найти обе компоненты в S′ и модуль скорости. Сначала преобразуем компоненты отдельно: продольная и поперечная формулы различаются.

1. Для продольной компоненты: u′x = (0,5c − 0,6c) / (1 − 0,5 · 0,6) = −0,1c / 0,7 ≈ −0,143c.
2. Для поперечной: u′y = 0,4c√(1 − 0,6²) / 0,7. Поскольку √0,64 = 0,8, получаем u′y ≈ 0,457c.
3. Модуль скорости равен √(u′x² + u′y²) ≈ √(0,143² + 0,457²)c ≈ 0,479c. Он меньше c; отрицательный знак u′x означает движение против положительного направления x.

Ответ: u′x ≈ −0,143c, u′y ≈ 0,457c, |u′| ≈ 0,479c.

Типичные ошибки

Первая ошибка — складывать скорости по классическому правилу при значениях, близких к c. Так можно получить скорость больше c, потому что забывают о преобразовании времени. Проверьте себя подстановкой в релятивистскую формулу: знаменатель 1 − uxv / c² обязателен, а результат не должен превышать c.

Вторая ошибка — путать скорость тела относительно системы со скоростью движения самих систем. Из-за этого выбирают неверный знак перед v и получают неверное направление. Сначала нарисуйте ось и отметьте стрелкой движение S′ относительно S; если оно направлено против +x, задайте v со знаком минус.

Третья ошибка — преобразовывать поперечную компоненту по формуле продольной или считать её неизменной. Так поступают, потому что координата y при данном переходе не меняется, но время измерения всё равно преобразуется. Используйте отдельную формулу для u′y и проверьте, что в ней есть множитель √(1 − v² / c²) и зависимость от ux.

Четвёртая ошибка — считать, что при смене системы меняется скорость света. Неправильная подстановка или смешение знаков иногда создают такое впечатление. Проверьте формулы на световом движении: если в одной системе скорость равна c, после преобразования её модуль должен остаться равным c.

Связь с другими темами

Для работы с преобразованием скоростей нужны понятие системы отсчёта, определение скорости как отношения приращения координаты ко времени и основы преобразований Лоренца. Эти знания объясняют, откуда берутся формулы и почему в них меняется временной интервал. Тема относится к релятивистской кинематике и применяется при анализе движения частиц в ускорителях. Она также помогает понять, почему скорость света является предельной и одинаковой для наблюдателей в инерциальных системах.

Что запомнить

• Скорость тела зависит от выбранной системы отсчёта.
• При движении вдоль одной прямой скорости преобразуются по релятивистскому закону сложения.
• Продольная и поперечная компоненты скорости преобразуются по-разному.
• При скоростях, намного меньших c, релятивистские формулы переходят в классические.
• Если скорость тела равна c в одной инерциальной системе, она равна c и в другой.
• Скорость тела, вычисленная по преобразованиям, не может превышать c.