"Физика (базовый и профильный уровни)", Тихомирова С.А., Яворский Б.М.
Масса и энергия — не независимые свойства системы: любое изменение её энергии связано с изменением массы. Энергия покоя тела определяется формулой E₀ = mc², где m — покойная масса, а c — скорость света. Благодаря этой связи можно объяснить, почему при выделении энергии в ядерной реакции масса продуктов меньше массы исходных частиц и как по изменению массы вычислить энергию превращения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Покойная масса — масса тела, измеренная в системе отсчёта, где оно покоится; её обозначают m. Это характеристика самого тела, а не результат выбора системы, в которой оно движется. Покойная масса нужна, чтобы записывать энергию покоя и сравнивать массы разных состояний системы.
Энергия покоя — энергия, которой тело обладает благодаря своей массе: E₀ = mc². Здесь c — скорость света в вакууме, приблизительно равная 3·10⁸ м/с. Формула показывает, какую энергию соответствует масса тела, и позволяет оценивать энергию превращений, при которых меняется масса.
Эквивалентность массы и энергии — связь, согласно которой изменение энергии системы сопровождается изменением её массы. Для изменений используется формула ΔE = Δm c². Она нужна, чтобы по количеству переданной энергии определить изменение массы и наоборот.
Дефект массы — разность между суммой масс отдельных частей системы и массой системы в связанном состоянии. Обычно масса связанной системы меньше суммы масс её частей. Эта разность помогает определить энергию, выделившуюся при образовании системы или необходимую для её разделения.
Энергия покоя не зависит от того, движется тело относительно наблюдателя или нет: она относится к состоянию тела в системе отсчёта, где оно покоится. Покойная масса при этом остаётся характеристикой тела, а энергия покоя задаётся именно ею. Коэффициент c² одинаков для всех тел, поэтому большее значение массы означает большую энергию покоя. Скорость света входит в формулу как универсальный коэффициент пересчёта между массой и энергией.
Формула E₀ = mc² распространяется и на изменения энергии и массы: если масса изменилась на Δm, соответствующее изменение энергии равно ΔE = Δm c². Это не отдельное превращение энергии в нечто постороннее, а количественная связь двух свойств одной системы. Чтобы найти изменение массы, уравнение преобразуют: Δm = ΔE/c². Знак величин отражает направление процесса: прибавление энергии означает положительное изменение массы, а потеря энергии — отрицательное.
Когда телу передают энергию, например нагревают его, увеличивается энергия всей системы. Поэтому увеличивается и её масса, хотя в повседневных условиях прирост настолько мал, что его трудно заметить. Если тело отдаёт энергию окружающей среде, его энергия и масса уменьшаются. Это объясняет, почему направление передачи энергии важно при определении знака Δm.
Связанная система — это части, которые удерживаются вместе взаимодействием, например частицы атомного ядра. При образовании такой системы часть энергии может выделиться наружу, поэтому энергия и масса готовой системы меньше суммы энергий и масс свободных частей. Разность между суммой масс частей и массой связанной системы называют дефектом массы. Энергия, соответствующая этой разности, является энергией связи: для разделения системы её нужно сообщить извне.
В ядерных превращениях масса исходных частиц и масса продуктов могут немного различаться. Эта разность не исчезает бесследно: она соответствует энергии, которая выделяется или поглощается, по формуле ΔE = Δm c². Поскольку c² очень велико, малый дефект массы может соответствовать значительной энергии. Поэтому ядерные реакции дают намного больше энергии, чем процессы, в которых изменения массы практически неразличимы.
| Величина | Обозначение и формула | Физический смысл | Единица СИ |
|---|---|---|---|
| Покойная масса | m | Масса тела в системе отсчёта, где оно покоится | кг |
| Энергия покоя | E₀ = mc² | Энергия, соответствующая покойной массе тела | Дж |
| Изменение энергии и массы | ΔE = Δm c² | Связь изменения энергии системы с изменением её массы | Дж; кг |
| Дефект массы | Δm = Σm частей − m системы | Разность между суммой масс частей и массой связанной системы | кг |
| Энергия, соответствующая дефекту массы | Eсв = Δm c² | Энергия связи системы | Дж |
Сначала определите, какая величина известна и какую нужно найти: для энергии покоя берут m, а для превращения — изменения Δm и ΔE. Проверьте, что масса выражена в килограммах, а c — в метрах в секунду; тогда энергия получится в джоулях. В задачах на дефект массы сначала находят разность масс частей и системы, а затем умножают её на c².
Задача 1. Найти энергию покоя тела массой 2 г. В формулу E₀ = mc² нельзя подставлять граммы: единица СИ для массы — килограмм. Переведём массу и возьмём c ≈ 3·10⁸ м/с. Так мы найдём энергию покоя, а не кинетическую энергию движущегося тела.
Ответ: энергия покоя равна 1,8·10¹⁴ Дж. Большое значение получается из-за множителя c². Масса тела мала, но скорость света в квадрате очень велика.
Задача 2. Тело получило 4,5·10¹⁰ Дж энергии. На сколько изменилась его масса? Изменение массы находим из соотношения Δm = ΔE/c². Поскольку тело получило энергию, масса увеличится, поэтому результат должен быть положительным. Используем приближение c ≈ 3·10⁸ м/с.
Ответ: масса увеличилась на 5·10⁻⁷ кг, или 0,5 мг. Проверка знака проста: получение энергии не может соответствовать уменьшению массы системы. При отдаче той же энергии изменение имело бы противоположный знак.
Задача 3. Суммарная масса исходных частиц на 0,002 а.е.м. больше суммарной массы продуктов ядерной реакции. Найти энергию реакции в джоулях. Разность масс здесь является дефектом массы, а уменьшение массы сопровождается выделением энергии. Сначала переведём атомные единицы массы в килограммы. Затем применим связь выделившейся энергии с дефектом массы.
Ответ: выделится приблизительно 3,0·10⁻¹³ Дж энергии. В расчёте использованы приближённые значения а.е.м. и скорости света. Указанное в условии направление разности масс показывает, что энергия выделяется, а не поглощается.
Первая ошибка — подменять покойную массу так называемой релятивистской массой. В теме используется масса тела в системе, где оно покоится, а движение тела не следует описывать искусственным увеличением этой массы. Такая путаница возникает из-за старого упрощённого объяснения относительности. Проверьте обозначения: в E₀ = mc² символ m означает покойную массу.
Вторая ошибка — забывать квадрат скорости света и писать E₀ = mc. Так теряется огромный множитель, и единицы результата перестают быть единицами энергии. Ошибка часто появляется при запоминании формулы на слух. Проверяйте запись: после c обязательно стоит показатель степени 2.
Третья ошибка — подставлять массу в граммах без перевода в килограммы. Тогда вычисление не соответствует единицам СИ, а ответ отличается от правильного в тысячу раз. Это происходит, когда переходят сразу к числам и пропускают проверку единиц. Перед подстановкой запишите массу в килограммах, а скорость — в метрах в секунду.
Четвёртая ошибка — считать, что при выделении энергии масса системы увеличивается. На самом деле энергия уходит из системы, поэтому её масса уменьшается. Путаница возникает, если учитывать только формулу и забывать смысл знака изменения. Проверьте себя по условию: при отдаче энергии ΔE системы отрицательно, значит, отрицательно и Δm.
Для работы с формулами нужны понятия массы и энергии, закон сохранения энергии и умение переводить величины в единицы СИ. Закон сохранения помогает проследить, куда переходит энергия при взаимодействии системы с окружающей средой. Перевод массы в килограммы необходим, чтобы расчёт по формуле дал энергию в джоулях. Поэтому прежде чем вычислять, важно определить границы системы и указать, получает она энергию или отдаёт.
Эквивалентность массы и энергии применяют при объяснении ядерных реакций и энергии связи атомных ядер. По дефекту массы можно оценить, сколько энергии выделится при реакции или потребуется для разделения ядра. Эти же идеи важны для понимания работы ядерных энергетических установок, где энергия превращений передаётся другим частям установки. Так микроскопические изменения массы связаны с измеримыми энергетическими процессами.
Что означает формула E₀ = mc²?
Она показывает, что тело обладает энергией покоя благодаря своей массе. Чтобы найти эту энергию, покойную массу умножают на квадрат скорости света.
Почему масса тела может измениться, если оно получило или отдало энергию?
Масса системы связана с её полной энергией. При получении энергии масса системы увеличивается, а при передаче энергии наружу — уменьшается.
Как найти изменение массы по известному изменению энергии?
Используют формулу Δm = ΔE/c². Энергию делят на квадрат скорости света, а знак изменения массы определяют по условию: при получении энергии он положительный, при отдаче — отрицательный.
Что называют дефектом массы?
Это разность между суммой масс отдельных частей системы и массой системы в связанном состоянии. У связанной системы эта разность соответствует энергии связи.
Почему при ядерной реакции небольшая потеря массы сопровождается выделением энергии?
Масса превращается в энергию согласно соотношению ΔE = Δm c². Поскольку квадрат скорости света очень велик, даже небольшому дефекту массы соответствует значительная энергия.
§ 53. Закон взаимосвязи массы и энергии
