*§ 2. Траектория, путь, перемещение

Определения и обозначения

Траектория — линия, по которой движется тело. Её форма зависит от выбора системы отсчёта, то есть тела отсчёта и способа измерения положения. Понятие траектории нужно, чтобы видеть геометрическую линию движения и понимать, какой маршрут прошло тело.

Путь — длина участка траектории, пройденного телом за выбранный промежуток времени. Его обозначают буквой s, это скалярная величина: для задания пути достаточно числового значения с единицей измерения. Путь помогает определить, какое расстояние тело фактически преодолело, даже если оно двигалось в разных направлениях.

Перемещение — вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением. Его обозначают вектором Δr; у перемещения есть и числовое значение, и направление. Оно нужно, чтобы описать не весь маршрут, а итоговое изменение положения тела.

Как это устроено

Чтобы определить траекторию, нужно отмечать положения тела относительно выбранного тела отсчёта через последовательные моменты времени. Если соединить эти положения, получится линия движения. Такой способ нужен потому, что положение тела само по себе является точкой, а движение проявляется в последовательности изменений этой точки.

Путь находят, измеряя длину пройденного участка траектории. Если тело сначала движется вперёд, а потом возвращается, обратный участок тоже добавляется к пути: тело действительно прошло и его. Поэтому путь показывает общий объём движения по маршруту, а не только удалённость от старта.

Перемещение определяется начальным и конечным положениями тела. Если эти точки зафиксированы, результат будет одним и тем же независимо от того, двигалось тело по прямой, дуге или ломаной линии. Причина в том, что перемещение описывает итоговую смену положения, а не все промежуточные повороты.

Длина вектора перемещения не превышает путь: |Δr| ≤ s. При движении по извилистой траектории тело обычно проходит большее расстояние, чем составляет прямая между началом и концом. Равенство возможно только при прямолинейном движении без изменения направления, когда весь маршрут совпадает с отрезком перемещения.

Если тело вернулось в исходное положение, его начальная и конечная точки совпали. Поэтому вектор перемещения равен нулю, хотя тело могло пройти значительный маршрут. Например, после полного круга путь равен длине окружности, а перемещение равно нулю.

Траектория, путь и перемещение

Сначала определите, что именно требуется найти: весь маршрут или итоговое изменение положения. Затем выберите соответствующий столбец и проверьте направление движения. Если маршрут замкнутый, особенно внимательно сравните путь с перемещением.

Разбор задач

Задача 1

Пешеход прошёл 300 м по прямой от дома до магазина. Нужно найти путь и модуль перемещения. Движение происходит по одному прямому участку и без смены направления.

1. Путь равен длине пройденного участка, поэтому s = 300 м.
2. Начальная и конечная точки соединены тем же прямым отрезком, по которому шёл пешеход.
3. Следовательно, модуль перемещения равен длине этого отрезка: |Δr| = 300 м.

Ответ: путь равен 300 м, модуль перемещения равен 300 м. Здесь величины совпали, потому что движение было прямолинейным и без разворота.

Задача 2

Ученик прошёл 400 м на восток, затем 300 м на запад. Требуется определить путь и модуль перемещения. Направления противоположны, поэтому для пути складывают длины, а для перемещения учитывают их взаимное направление.

1. Складываем оба пройденных участка: s = 400 м + 300 м = 700 м.
2. После движения на восток на 400 м и возвращения на запад на 300 м ученик оказался на 100 м восточнее старта.
3. Модуль перемещения равен расстоянию между начальной и конечной точками: |Δr| = 100 м.

Ответ: путь равен 700 м, модуль перемещения равен 100 м. Разность участков появилась потому, что второй отрезок направлен противоположно первому.

Задача 3

Велосипедист проехал один круг по дорожке длиной 500 м и вернулся к старту. Нужно найти путь и перемещение. За один круг велосипедист проходит всю длину дорожки, но конечная точка совпадает с начальной.

1. Весь маршрут состоит из одного полного круга, поэтому путь s = 500 м.
2. Начальное и конечное положения совпадают после возвращения к старту.
3. Вектор, соединяющий совпадающие точки, имеет нулевую длину, значит |Δr| = 0 м.

Ответ: путь равен 500 м, перемещение равно нулю. Эта задача показывает, что ненулевой путь не обязательно означает ненулевое перемещение.

Типичные ошибки

Ошибка — считать путь и модуль перемещения всегда одинаковыми. Так бывает только при прямолинейном движении без разворота, поэтому такое правило нельзя переносить на любой маршрут. Проверьте себя: если в движении есть поворот или возврат, сначала сравните длину всего маршрута и расстояние между началом и концом.

Ошибка — складывать участки пути с учётом направления и получать отрицательное значение. Путь является длиной, поэтому все участки складывают без знаков. Для проверки уберите направления из вычисления: результат пути должен быть неотрицательным.

Ошибка — считать перемещение длиной пройденной траектории. Перемещение соединяет только начальную и конечную точки, поэтому извилистый маршрут не включается в его длину. Нарисуйте обе точки и проведите между ними отрезок — его длина и есть модуль перемещения.

Ошибка — утверждать, что при нулевом перемещении тело не двигалось. Нулевым перемещение становится и после полного круга или другого замкнутого маршрута. Проверьте совпадение начального и конечного положений, а затем отдельно вычислите путь.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь задавать положение тела относительно тела отсчёта и пользоваться единицами длины. Без этого невозможно однозначно описать начальную и конечную точки, измерить путь и сравнить расстояния. Особенно полезно уверенно переводить метры, километры и другие единицы.

Путь и перемещение понадобятся при изучении скорости, равноускоренного движения и векторного описания движения. Скорость может связываться с пройденным путём или перемещением, в зависимости от рассматриваемой величины. Поэтому различие между этими понятиями нужно сохранять при решении следующих задач.

Что запомнить

• Траектория — линия движения тела.
• Путь — длина пройденного участка траектории.
• Путь — скалярная величина, он не бывает отрицательным.
• Перемещение — вектор от начального положения к конечному.
• Модуль перемещения не больше пути.
• При возвращении в исходную точку перемещение равно нулю, а путь может быть больше нуля.