§ 34. Модель газа

Определения и обозначения

Модель газа — упрощённое описание газа, сохраняющее существенные для задачи свойства. Она нужна потому, что позволяет изучать поведение огромного числа частиц с помощью нескольких величин, а не отслеживать каждую молекулу.

Идеальный газ — модель, в которой молекулы считают материальными точками, а их взаимодействием вне столкновений пренебрегают. Это не настоящий особый газ, а удобное приближение для расчётов.

Концентрация молекул — число молекул в единице объёма: n = N/V. Она показывает, насколько много частиц приходится на каждый кубический метр газа, и входит в формулу давления.

Средний квадрат скорости молекул — среднее значение квадратов скоростей всех молекул; обозначается ⟨v²⟩. Эта величина учитывает вклад быстрых частиц и используется при установлении связи между движением молекул и давлением.

Как это устроено

В газе содержится колоссальное число молекул, и движение каждой из них постоянно меняется из-за столкновений. Если пытаться описать все траектории отдельно, расчёт стал бы практически невозможным. Поэтому используют модель: рассматривают не отдельные пути, а общие характеристики движения — концентрацию, массу частиц и средний квадрат скорости.

Размером молекул можно пренебречь, если расстояния между ними значительно больше размеров самих частиц. Тогда объём, занятый молекулами, мал по сравнению с объёмом сосуда. Молекулу удобно считать материальной точкой, сохраняя её массу и скорость.

В реальном газе молекулы притягиваются или отталкиваются, но на заметном расстоянии это влияние обычно мало. Поэтому в идеальном газе взаимодействием между столкновениями пренебрегают, чтобы движение между ударами можно было считать свободным. Сами столкновения не исключают: их считают упругими, то есть при них сохраняются импульс и энергия движения.

Молекулы движутся беспорядочно во всех направлениях и время от времени ударяются о стенки сосуда. Во время удара импульс молекулы изменяется, поэтому стенка получает импульс и испытывает силу. Огромное количество таких ударов за каждую секунду создаёт наблюдаемое давление.

Для газа, находящегося в равновесии, вклады ударов по разным направлениям усредняются. Поэтому давление определяется массой одной молекулы m, концентрацией n и средним квадратом скорости ⟨v²⟩: p = ⅓mn⟨v²⟩. Множитель ⅓ появляется потому, что хаотическое движение распределено по трём взаимно перпендикулярным направлениям.

Реальный газ и модель идеального газа

Таблица показывает, какие свойства настоящего газа заменяются приближениями в идеальной модели. При решении задачи сначала проверьте, подходят ли такие упрощения, а затем выбирайте формулу.

Разбор задач

Задача 1. В сосуде объёмом 2 м³ находится 6·10²⁵ молекул газа. Найдём концентрацию молекул. Используем определение n = N/V, потому что известны число частиц и объём.

1. Записываем данные: N = 6·10²⁵, V = 2 м³.
2. Делим число молекул на объём: n = (6·10²⁵)/(2 м³) = 3·10²⁵ м⁻³.
3. Единица м⁻³ означает, сколько молекул приходится на один кубический метр.

Ответ: n = 3·10²⁵ м⁻³.

Задача 2. Масса молекулы равна 4·10⁻²⁶ кг, концентрация — 2·10²⁵ м⁻³, средний квадрат скорости — 9·10⁴ м²/с². Давление найдём из уравнения p = ⅓mn⟨v²⟩, подставляя именно массу одной молекулы.

1. Перемножаем массу и концентрацию: mn = 4·10⁻²⁶ · 2·10²⁵ = 0,8 кг/м³.
2. Умножаем на средний квадрат скорости: mn⟨v²⟩ = 0,8 · 9·10⁴ = 7,2·10⁴ Па.
3. Делим результат на 3: p = 7,2·10⁴/3 = 2,4·10⁴ Па.

Ответ: p = 2,4·10⁴ Па. Размерность получается паскаль, поэтому единицы согласованы.

Задача 3. Дано p = 10⁵ Па, n = 2·10²⁵ м⁻³ и m = 5·10⁻²⁶ кг. Сначала найдём средний квадрат скорости, а затем извлечём корень, поскольку требуется среднеквадратичная скорость.

1. Выражаем величину из основного уравнения: ⟨v²⟩ = 3p/(mn).
2. Вычисляем произведение в знаменателе: mn = 5·10⁻²⁶ · 2·10²⁵ = 1.
3. Получаем ⟨v²⟩ = 3·10⁵ м²/с².
4. Извлекаем квадратный корень: vср.кв. = √⟨v²⟩ = √(3·10⁵) ≈ 5,5·10² м/с.

Ответ: среднеквадратичная скорость примерно равна 5,5·10² м/с, или 550 м/с.

Типичные ошибки

Считать молекулы неподвижными. Так ошибаются, связывая давление только с наличием газа в сосуде. На самом деле без движения и ударов о стенки давление не возникло бы; проверьте, присутствует ли в рассуждении скорость.

Полностью исключать столкновения. Упрощение относится только к взаимодействию между столкновениями, а сами столкновения нужны для передачи импульса. Проверьте формулировку модели: свободное движение чередуется с упругими ударами.

Путать ⟨v²⟩ и ⟨v⟩². В первом случае квадраты находят до усреднения, во втором — после него, поэтому величины обычно различаются. Сверяйте запись с формулой: в ней стоит именно ⟨v²⟩.

Подставлять массу всего газа вместо массы молекулы. Формула описывает вклад отдельных частиц, поэтому используется m одной молекулы. Проверить себя можно по условию: если дана масса газа, сначала нужно найти массу одной частицы, разделив её на число молекул.

Связь с другими темами

Для понимания модели газа нужны представления о молекулах, массе, объёме, давлении и импульсе тела. Импульс объясняет, почему удар молекулы о стенку передаёт стенке действие, которое проявляется как сила и давление.

Модель газа служит основой молекулярно-кинетической теории. Связь давления с движением частиц затем помогает понять уравнение состояния газа и зависимость его параметров от температуры.

Что запомнить

• Идеальный газ — модель, а не утверждение о полном отсутствии молекул и столкновений.
• Молекулы идеального газа движутся хаотически.
• Столкновения молекул в модели считаются упругими.
• Концентрация молекул равна числу молекул, делённому на объём: n = N/V.
• Давление газа связано с ударами молекул о стенки.
• Для идеального газа p = ⅓mn⟨v²⟩.