"Физика. Базовый и профильный уровни", Тихомирова С.А., Яворский Б.М.
Молекулы газа движутся хаотически и сталкиваются, поэтому их скорости постоянно меняются и различаются. Чтобы описывать движение множества молекул, используют среднюю, среднюю квадратичную и наиболее вероятную скорости. Они помогают связать движение частиц с температурой и массой молекулы, а также объяснить свойства газа. При нагревании характерные скорости растут, а при одинаковой температуре лёгкие молекулы движутся быстрее тяжёлых.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Скорость теплового движения — беспорядочная скорость отдельной молекулы газа, изменяющаяся по величине и направлению из-за столкновений. В формулах обычно рассматривают модуль скорости v, то есть только её численное значение. Это понятие нужно, чтобы описывать движение молекул, не забывая о его хаотическом характере.
Средняя скорость — среднее арифметическое модулей скоростей большого числа молекул. Её находят, складывая значения скоростей и деля сумму на число частиц. Она показывает типичный масштаб скоростей, но не направление движения молекул.
Средняя квадратичная скорость — скорость, связанная со средней кинетической энергией поступательного движения молекул формулой vкв = √(3kT/m₀). Здесь k — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура, а m₀ — масса одной молекулы. Эта величина особенно удобна для связи микроскопического движения с температурой газа.
Наиболее вероятная скорость — значение скорости, которому соответствует наибольшее число молекул газа. Её определяют по максимуму кривой распределения молекул по скоростям. Она помогает понять, около какого значения сосредоточено больше всего молекул, хотя скорости остальных частиц могут быть и меньше, и больше.
В равновесном газе молекулы не движутся согласованно: каждая летит в своём направлении и сталкивается с другими частицами. При столкновении меняются направление движения и, как правило, модуль скорости каждой из сталкивающихся молекул. Поэтому скорости в каждый момент различны, хотя температура и другие макроскопические свойства газа остаются постоянными.
Если сложить векторы скоростей всех молекул, движения в разных направлениях в равновесии компенсируются. Поэтому средняя векторная скорость равна нулю. Но средняя скорость вычисляется по модулям: модуль всегда неотрицателен, а значит, усреднение не уничтожает вклады противоположных направлений. По той же причине положительна и средняя квадратичная скорость.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории можно записать как p = ⅓ n m₀ vкв², где p — давление, а n — концентрация молекул. Для идеального газа уравнение состояния даёт p = nkT. Приравнивая выражения для давления, сокращаем n и получаем m₀vкв² = 3kT, откуда vкв = √(3kT/m₀). Значит, при большей температуре скорость возрастает, а при большей массе молекулы уменьшается.
Формула для средней квадратичной скорости не означает, что каждая частица движется именно так. Она получена из средней энергии большого числа молекул, а столкновения создают разброс скоростей. Некоторые молекулы движутся медленнее, некоторые быстрее; значение vкв лишь характеризует всю совокупность и позволяет оценивать её среднюю кинетическую энергию.
Распределение Максвелла показывает, какая доля молекул имеет скорости из разных интервалов. На графике максимум кривой соответствует наиболее вероятной скорости, а по обе стороны от него находятся частицы с меньшими и большими скоростями. При нагревании типичные скорости растут: максимум сдвигается вправо, а кривая становится шире и ниже, поскольку молекулы распределяются по более широкому диапазону значений.
| Характеристика | Средняя скорость | Средняя квадратичная скорость | Наиболее вероятная скорость |
|---|---|---|---|
| Физический смысл | Среднее арифметическое модулей скоростей | Характеризует среднюю кинетическую энергию поступательного движения | Скорость, встречающаяся у наибольшего числа молекул |
| Формула | vср = √(8kT/(πm₀)) | vкв = √(3kT/m₀) | vнаиб = √(2kT/m₀) |
| Зависимость от температуры | Пропорциональна √T | Пропорциональна √T | Пропорциональна √T |
| Зависимость от массы молекулы | Обратно пропорциональна √m₀ | Обратно пропорциональна √m₀ | Обратно пропорциональна √m₀ |
| Сравнение значений | Меньше vкв, но больше vнаиб | Наибольшая из трёх | Наименьшая из трёх |
| Использование в расчётах | Для средней величины модулей скоростей | Для связи температуры со средней энергией | Для определения положения максимума распределения |
Сначала выбери характеристику, соответствующую условию задачи: для энергии нужна средняя квадратичная скорость, а для максимума распределения — наиболее вероятная. Затем подставь температуру в кельвинах и массу одной молекулы в килограммах. Сравнение формул сразу показывает общую зависимость от температуры и массы.
Найдём скорость при T = 300 К, если масса одной молекулы кислорода m₀ = 5,31 · 10⁻²⁶ кг. Такая температура выбрана для численного примера: если в условии дана другая, в формулу нужно подставить именно её. Используем постоянную Больцмана k = 1,38 · 10⁻²³ Дж/К.
Ответ: vкв ≈ 4,84 · 10² м/с, или примерно 484 м/с. Проверка единиц подтверждает результат: kT измеряется в джоулях, а деление на массу даёт м²/с². После извлечения корня получаются метры в секунду.
Пусть водород и кислород находятся при одинаковой температуре. Нужно сравнить их средние квадратичные скорости, не вычисляя каждую отдельно. Для молекулярных масс можно использовать отношение m(O₂)/m(H₂) = 32/2 = 16.
Ответ: средняя квадратичная скорость молекул водорода в четыре раза больше, чем кислорода. Логика результата проста: при одинаковой средней кинетической энергии меньшей массе соответствует большая скорость. Сравнивать нужно массы молекул, а не массы одинаковых объёмов газов.
На графике показана относительная доля молекул с разными скоростями. По горизонтальной оси отложено отношение v/vнаиб, а по вертикальной — доля частиц. Требуется определить наиболее вероятную скорость и оценить, что происходит с кривой при нагревании.
Ответ: наиболее вероятную скорость считывают по положению максимума; при нагревании она увеличивается. Высота кривой сама по себе не означает, что число молекул стало больше: по графику сравнивают распределение долей по скоростям. Чем выше температура, тем шире диапазон характерных скоростей.
Считать, что все молекулы газа имеют одну скорость, ошибочно: столкновения создают распределение скоростей. Такое упрощение возникает, когда среднюю величину принимают за точное значение для каждой частицы. Проверь себя по графику Максвелла: кривая охватывает целый диапазон скоростей, а не одну точку.
Не следует путать среднюю векторную скорость со средней скоростью модулей. Первая в равновесном газе равна нулю из-за компенсации противоположных направлений, а вторая положительна. Если в вычислении складываются векторы, учитывай направление; если усредняются модули, все слагаемые неотрицательны.
Подстановка массы в граммах или несогласованных единицах приводит к неверному результату. Ошибку допускают, забывая, что постоянная Больцмана задана в единицах СИ. Перед вычислением переведи массу молекулы в килограммы, температуру — в кельвины и проверь, что подкоренное выражение имеет единицы м²/с².
Среднюю квадратичную и наиболее вероятную скорости нельзя приписывать каждой молекуле. Первая характеризует среднюю энергию совокупности, а вторая соответствует максимуму распределения. Проверка проста: если задача говорит об отдельной частице, её точную скорость нельзя найти только по этим характеристикам.
Для изучения скоростей нужно знать основное уравнение молекулярно-кинетической теории, понимать температуру как меру средней кинетической энергии и пользоваться формулой кинетической энергии. Эти понятия связывают движение отдельных частиц с измеряемыми свойствами газа. Скорости помогают объяснять давление, газовые законы и изменения свойств газа при нагревании. Представление о распределении молекул по скоростям пригодится при изучении диффузии, испарения, вылета молекул и дальнейшей кинетической теории газов.
Почему средняя скорость молекул не равна нулю, если молекулы движутся во всех направлениях?
Средняя скорость здесь означает среднее значение модулей скоростей, а модуль не бывает отрицательным. Равной нулю в равновесном газе является средняя векторная скорость: вклады движений в противоположных направлениях взаимно компенсируются.
Почему нельзя считать, что все молекулы газа движутся со средней квадратичной скоростью?
Средняя квадратичная скорость характеризует целую совокупность молекул и связана со средней кинетической энергией. Из-за столкновений скорости молекул различаются, поэтому отдельная молекула может двигаться как медленнее, так и быстрее этого значения.
Какая скорость больше: средняя, средняя квадратичная или наиболее вероятная?
Для распределения Максвелла наиболее вероятная скорость меньше средней, а средняя меньше средней квадратичной. Эти величины описывают разные свойства распределения и не совпадают.
Как изменятся скорости молекул при нагревании газа?
При повышении температуры средние и характерные скорости молекул увеличиваются пропорционально √T. Распределение становится шире, а его максимум смещается к большим скоростям.
Почему при одинаковой температуре молекулы водорода движутся быстрее молекул кислорода?
При одинаковой температуре средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул одинакова. Поскольку молекула водорода значительно легче молекулы кислорода, для той же энергии её скорость должна быть больше.
§ 35. Скорости молекул газа
