"Физика. Базовый и профильный уровни", Тихомирова С.А., Яворский Б.М.
Изотермический процесс — изменение состояния газа при неизменной температуре. Для данной массы идеального газа в таких условиях давление и объём изменяются обратно пропорционально: при сжатии давление растёт, при расширении падает. Эта связь, называемая законом Бойля—Мариотта, помогает описывать поведение газа, находить неизвестные параметры и понимать, как газ совершает работу.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Изотермический процесс — изменение состояния газа при постоянной температуре: T = const. Буква T обозначает абсолютную температуру, которую измеряют в кельвинах. Условие позволяет сравнивать давление и объём газа, не учитывая влияние изменения температуры.
Изотерма — график зависимости давления идеального газа от объёма при неизменной температуре. На нём каждая точка соответствует возможному состоянию газа при одной и той же температуре. Такой график помогает увидеть, как меняется давление при расширении или сжатии.
Закон Бойля—Мариотта утверждает: для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления на объём остаётся постоянным, то есть pV = const. Здесь p — давление, а V — объём газа. Закон нужен, чтобы находить один из этих параметров, если известен другой.
Работа газа при изотермическом расширении — энергия, переданная газом внешним телам при увеличении объёма. Газ совершает работу, например, когда перемещает поршень в цилиндре. Понятие работы позволяет связать изменение объёма с передачей энергии и применить первый закон термодинамики.
Уравнение состояния идеального газа записывается как pV = νRT, где ν — количество вещества, а R — универсальная газовая постоянная. Для данной массы газа ν постоянно; в изотермическом процессе не меняется и T. Значит, произведение νRT остаётся постоянным, поэтому pV тоже постоянно. Так из уравнения состояния получается закон Бойля—Мариотта.
Из равенства pV = const следует, что при уменьшении объёма давление должно вырасти настолько, чтобы произведение осталось прежним. Например, если объём уменьшился вдвое, давление при неизменной температуре увеличится вдвое. При расширении происходит обратное: большему объёму соответствует меньшее давление. Давление и объём здесь не независимы, а связаны обратной пропорциональностью.
Если выразить давление через объём, получим p = const/V. Эта зависимость изображается гиперболой, ветвь которой убывает: по мере движения вправо, к большим объёмам, график опускается. Для одной и той же массы газа при большей температуре значение p при заданном V больше, потому что в уравнении состояния увеличивается νRT. Поэтому изотерма более высокой температуры проходит выше.
Первый закон термодинамики связывает переданную газу теплоту Q, изменение его внутренней энергии ΔU и работу A: Q = ΔU + A. У идеального газа внутренняя энергия определяется температурой, поэтому при T = const её изменение равно нулю. Тогда Q = A: если газ получает теплоту, она расходуется на совершение работы. При расширении газ совершает положительную работу, а при сжатии работа газа отрицательна.
Если известны два состояния на одной изотерме, для каждого произведение давления на объём одинаково. Поэтому можно записать p₁V₁ = p₂V₂ и выразить неизвестную величину, например p₂ = p₁V₁/V₂. Индексы 1 и 2 обозначают начальное и конечное состояния. Прежде чем подставлять числа, нужно убедиться, что температура в этих состояниях одна и та же, а единицы величин согласованы.
| Характеристика | Изотермический процесс | Формула или следствие |
|---|---|---|
| Постоянная величина | Температура не изменяется | T = const |
| Связь давления и объёма | Давление обратно пропорционально объёму | pV = const |
| Переход между состояниями | Начальное и конечное состояния лежат на одной изотерме | p₁V₁ = p₂V₂ |
| График в координатах p–V | Убывающая ветвь гиперболы | Изотерма |
| Изменение внутренней энергии идеального газа | Не происходит, поскольку температура постоянна | ΔU = 0 |
| Первый закон термодинамики | Теплота идёт на совершение работы газа | Q = A |
Сначала проверьте, действительно ли температура постоянна: только тогда применим закон Бойля—Мариотта. Для поиска давления или объёма используйте строку о переходе между состояниями. Строки о внутренней энергии и теплоте помогают анализировать энергетическую сторону процесса.
Газ занимает объём 4 л при давлении 100 кПа. Его сжимают при постоянной температуре до объёма 2 л. Найдём конечное давление. Уменьшение объёма должно сопровождаться ростом давления, поэтому ответ будет больше 100 кПа.
Ответ: 200 кПа. Проверка по смыслу подтверждает результат: объём уменьшился вдвое, а давление при постоянной температуре увеличилось вдвое.
При постоянной температуре давление газа выросло с 120 до 300 кПа, а начальный объём был равен 5 л. Нужно найти конечный объём. Давление стало больше, значит объём должен уменьшиться. В этих данных удобно использовать одни и те же единицы давления, тогда переводить их не потребуется.
Ответ: 2 л. Полученный объём меньше начального, как и должно быть при увеличении давления на одной изотерме.
Газ расширяется при температуре T от объёма V₁ до V₂, причём V₂ больше V₁. Известно количество вещества ν; требуется найти работу газа и полученную теплоту. Для идеального газа при изотерме ΔU = 0, поэтому по первому закону Q = A. Работа определяется не только изменением объёма, но и тем, как меняется давление по мере расширения.
Ответ: A = νRT ln(V₂/V₁), Q = νRT ln(V₂/V₁). Числовой результат можно получить после подстановки значений количества вещества, температуры и объёмов. Формула работы предполагает, что расширение происходит достаточно медленно, чтобы газ проходил через последовательность равновесных состояний.
Ошибка — считать, что при постоянной температуре не меняются также давление и объём. Её допускают, смешивая условие процесса с законом для одной величины: постоянной здесь является только T. Проверьте себя: если объём меняется, произведение pV сохранится лишь при соответствующем изменении давления.
Ошибка — применять p₁V₁ = p₂V₂ к состояниям с разными температурами. Эта формула выведена при условии неизменной температуры и потому не учитывает её изменение. Перед расчётом сопоставьте температуры состояний; если они различны, используйте уравнение состояния идеального газа.
Ошибка — считать давление и объём прямо пропорциональными. Такое рассуждение приводит к неверному выводу, будто расширение повышает давление, хотя по закону Бойля—Мариотта p обратно пропорционально V. Проверка проста: при постоянной температуре произведение pV должно сохраняться, значит, рост одного множителя требует уменьшения другого.
Ошибка — полагать, что внутренняя энергия идеального газа меняется во время изотермического процесса. Это происходит из-за смешения изменения объёма с изменением энергии: для идеального газа внутренняя энергия зависит только от температуры. Проверьте условие T = const и примените связь ΔU с температурой: при неизменной температуре ΔU = 0.
Для понимания изотермы нужны понятия давления, объёма и температуры, а также уравнение состояния идеального газа. Закон Бойля—Мариотта следует из этого уравнения при постоянных количестве газа и температуре. Энергетический анализ опирается на первый закон термодинамики и понятие работы газа.
Изотермические процессы встречаются при изучении работы тепловых машин, а также при анализе расширения и сжатия газов. Закон помогает решать задачи, где сравнивают два состояния газа при одинаковой температуре. В реальных установках процесс может лишь приближённо быть изотермическим: для поддержания температуры газу нужно обмениваться теплотой с окружающей средой.
Почему при постоянной температуре давление газа изменяется?
Постоянство температуры не означает, что давление тоже неизменно. Если газ сжимают, его молекулы чаще ударяются о стенки сосуда, поэтому давление растёт; при расширении удары становятся реже. Для данной массы газа pV остаётся постоянным.
Чем изотермический процесс отличается от изобарного и изохорного?
В изотермическом процессе неизменна температура, в изобарном — давление, а в изохорном — объём. Поэтому для этих процессов постоянны разные величины. Например, при изотермическом изменении состояния давление и объём связаны законом Бойля—Мариотта.
Можно ли применять формулу p₁V₁ = p₂V₂, если изменяется температура?
Нет, эта формула относится к двум состояниям одной и той же массы газа при одинаковой температуре. Если температура меняется, нужно учитывать её изменение и использовать уравнение состояния идеального газа.
Почему график изотермы имеет форму гиперболы?
При постоянной температуре pV = const, поэтому p = const/V. Такая зависимость давления от объёма и задаёт гиперболу: чем больше объём, тем меньше давление. В координатах p–V её ветвь убывает.
Куда расходуется теплота, полученная газом при изотермическом расширении?
У идеального газа внутренняя энергия зависит только от температуры, поэтому при изотермическом расширении она не изменяется. Согласно первому закону термодинамики, полученная теплота полностью расходуется на работу газа.
§ 36. Изотермический процесс
