**§ 50. Механические свойства твёрдых тел

Определения и обозначения

Деформация — изменение формы или размеров тела под действием внешних сил. Если проволока стала длиннее, её абсолютное удлинение равно Δl = l − l₀, где l₀ — первоначальная длина, а l — длина после растяжения. Абсолютное удлинение измеряют в метрах. Оно показывает, на сколько именно изменилась длина тела.

Относительное удлинение обозначают ε и находят по формуле ε = Δl/l₀. Эта величина сравнивает изменение длины с первоначальной длиной тела и потому не имеет единиц измерения. Например, одинаковое абсолютное удлинение для короткого и длинного стержней означает разную степень деформации. Относительное удлинение позволяет корректно сравнивать такие случаи.

Механическое напряжение σ — отношение силы упругости F к площади поперечного сечения S: σ = F/S. Сила измеряется в ньютонах, площадь — в квадратных метрах, а единица напряжения — паскаль (Па). Напряжение показывает, насколько велика сила, приходящаяся на каждый квадратный метр сечения. Эта величина нужна, чтобы оценивать нагрузку материала, а не только полную силу.

Закон Гука при малых упругих деформациях записывается как σ = Eε: напряжение прямо пропорционально относительному удлинению. Коэффициент E называют модулем Юнга; он равен отношению напряжения к относительному удлинению в области упругой деформации. Модуль Юнга зависит от материала и характеризует его жёсткость. Формула помогает связать нагрузку, деформацию и свойства материала.

Как это устроено

Внутри твёрдого тела частицы расположены не случайно: между ними действуют силы взаимодействия. Когда к телу прикладывают внешнюю силу, частицы смещаются относительно своих равновесных положений, и расстояния между ними изменяются. Поэтому меняются форма или размеры всего тела. Силы взаимодействия частиц при этом стремятся вернуть их к прежнему расположению и создают упругую реакцию.

Если внешняя нагрузка невелика и после её снятия тело восстанавливает исходные размеры и форму, деформация называется упругой. При более сильном воздействии частицы могут сместиться так, что после снятия силы тело уже не вернётся полностью к исходному состоянию. Возникает пластическая деформация, которая сохраняется. Как именно поведёт себя тело, зависит и от величины нагрузки, и от материала: у разных материалов разные пределы упругого поведения.

Полная сила не всегда показывает, насколько опасна нагрузка для детали: одна и та же сила может действовать на широкое или узкое сечение. Поэтому силу делят на площадь и получают напряжение. При неизменной силе уменьшение площади сечения увеличивает напряжение, а увеличение площади уменьшает его. Так можно сравнивать нагрузку на разные детали и оценивать, насколько сильно нагружен материал.

При малой упругой деформации частицы лишь немного смещаются, а связь между напряжением и относительным удлинением остаётся линейной. Это и выражает закон Гука: если ε увеличить в несколько раз, σ увеличится во столько же раз. Пропорциональность действует не при любом воздействии, а только в области малых упругих деформаций. При большой нагрузке материал может перестать возвращаться к исходной форме, поэтому применять закон Гука без проверки условий нельзя.

Из закона Гука следует E = σ/ε. При одной и той же относительной деформации материал с большим модулем Юнга требует большего напряжения, то есть он жёстче сопротивляется деформации. Это свойство важно учитывать при выборе материала для деталей и конструкций. Модуль зависит от материала, а не от того, насколько длинным или толстым сделан конкретный образец.

Виды деформации и их признаки

В таблице первые две строки описывают, сохраняется ли изменение после снятия силы, а остальные — каким образом меняются форма или размеры. Поэтому один и тот же случай можно отнести сразу к двум строкам: например, растяжение может быть упругим или пластическим. Чтобы определить вид деформации, сначала опишите изменение тела, а затем проверьте, восстановится ли оно после снятия нагрузки.

Разбор задач

Задача 1. Пружину растянули силой 6 Н. Какова сила упругости пружины в состоянии равновесия? В равновесии результирующая сила равна нулю, поэтому сила упругости должна уравновесить приложенную силу. Направление силы упругости противоположно растягивающей силе.

1. Записываем условие равновесия: силы по одной прямой равны по модулю и направлены противоположно.
2. Модуль силы упругости равен модулю приложенной силы: Fупр = 6 Н.

Ответ: 6 Н; сила упругости направлена противоположно силе, растягивающей пружину.

Задача 2. Проволока длиной 2 м и площадью поперечного сечения 1 мм² растянута силой 20 Н. Найдите механическое напряжение. Для расчёта площадь нужно выразить в квадратных метрах, поскольку паскаль равен Н/м². Длина проволоки в формулу напряжения не входит.

1. Переводим площадь: 1 мм² = 0,000001 м² = 10⁻⁶ м².
2. Используем σ = F/S: σ = 20 Н/(10⁻⁶ м²) = 20 000 000 Па.
3. Записываем результат также в мегапаскалях: 20 000 000 Па = 20 МПа.

Ответ: σ = 2 · 10⁷ Па, или 20 МПа.

Задача 3. Проволока длиной 1,5 м и площадью сечения 0,5 мм² удлинилась на 1,2 мм под действием силы 40 Н. Найдите модуль Юнга материала. Сначала найдём относительное удлинение, затем напряжение и разделим его на ε. Для вычислений переводим длины и площадь в согласованные единицы СИ.

1. Переводим величины: Δl = 1,2 мм = 0,0012 м; S = 0,5 мм² = 5 · 10⁻⁷ м².
2. Находим относительное удлинение: ε = Δl/l₀ = 0,0012 м/1,5 м = 0,0008.
3. Вычисляем напряжение: σ = F/S = 40 Н/(5 · 10⁻⁷ м²) = 8 · 10⁷ Па.
4. Используем закон Гука: E = σ/ε = (8 · 10⁷ Па)/0,0008 = 10¹¹ Па.

Ответ: E = 1 · 10¹¹ Па. Относительное удлинение безразмерно, поэтому единица результата модуля Юнга остаётся паскалем.

Типичные ошибки

Путают абсолютное удлинение Δl с относительным ε = Δl/l₀. Первое измеряется в метрах, а второе является отношением двух длин и безразмерно. Ошибка возникает из-за похожих названий и обозначений; проверяйте, делили ли вы изменение длины на первоначальную длину. Если ответ на относительное удлинение записан в метрах, вычисление выполнено неверно.

Подставляют площадь сечения в мм² прямо в формулу напряжения или модуля Юнга. Тогда единицы не соответствуют паскалям и результат отличается от правильного в миллион раз. Перед вычислением переведите площадь в м²: например, 1 мм² = 10⁻⁶ м². Самопроверка: при вычислении σ = F/S используйте F в ньютонах и S в квадратных метрах.

Считают, что закон Гука подходит для любой нагрузки. Это неверно: зависимость σ = Eε описывает только малые упругие деформации, а за их пределами тело может деформироваться нелинейно или пластически. Ошибку часто допускают, потому что формула выглядит универсальной. Перед её применением проверьте, что деформация мала и тело возвращается к исходной форме после снятия силы.

Полагают, что пластическая деформация исчезнет после снятия силы. Именно сохранение остаточного изменения отличает её от упругой, поэтому такое рассуждение меняет местами два понятия. Проверить себя просто: спросите, восстановилось ли тело после снятия нагрузки. Если форма или размеры остались изменёнными, деформация пластическая.

Связь с другими темами

Для изучения деформаций нужно знать силы и условие равновесия: оно помогает определить силу упругости, например в задаче о растянутой пружине. Также необходимы понятия площади и единиц измерения, особенно перевод мм² в м² при вычислении напряжения. Эти знания позволяют связывать действие нагрузки с изменением тела. Освоенные формулы применяют при изучении упругих сил и прочности материалов.

Расчёты напряжения и модуля Юнга помогают оценивать, как материал будет вести себя в конструкции. При проектировании важно выбирать размеры и материал деталей так, чтобы нагрузка не приводила к недопустимым деформациям. Поэтому тема связана с расчётами прочности конструкций и практическим использованием материалов. Она также помогает объяснить, почему одинаковая сила по-разному действует на детали разного сечения.

Что запомнить

• Деформация — изменение формы или размеров тела.
• Упругая деформация исчезает после снятия нагрузки, пластическая сохраняется.
• Напряжение равно силе упругости, делённой на площадь сечения: σ = F/S.
• Относительное удлинение равно отношению абсолютного удлинения к первоначальной длине: ε = Δl/l₀.
• При малых упругих деформациях действует закон Гука: σ = Eε.
• Модуль Юнга зависит от материала и характеризует его жёсткость.