§ 73. Зависимость сопротивления от температуры

Определения и обозначения

Температурная зависимость сопротивления — изменение электрического сопротивления проводника при изменении его температуры. Она показывает, почему один и тот же проводник может по-разному проводить ток при нагревании и охлаждении. Это свойство нужно учитывать при расчётах электрических цепей и использовать в измерительных приборах.

Температурный коэффициент сопротивления — величина, характеризующая относительное изменение сопротивления при изменении температуры на один градус. Обычно его обозначают α и измеряют в 1/°C или 1/K. Коэффициент помогает сравнить материалы и рассчитать сопротивление при новой температуре.

Термистор — полупроводниковый резистор, сопротивление которого существенно зависит от температуры. В отличие от обычного резистора, он специально предназначен для заметного изменения сопротивления при нагревании или охлаждении. Благодаря этому термистор можно использовать как чувствительный элемент датчика.

Сверхпроводимость — состояние вещества, при котором электрическое сопротивление резко падает практически до нуля при охлаждении ниже критической температуры. Критическая температура — граница, ниже которой возникает это состояние. Понятие важно для понимания поведения некоторых материалов при очень сильном охлаждении.

Как это устроено

В металле есть свободные электроны, которые переносят заряд, а атомы образуют кристаллическую решётку. При нагревании атомы сильнее колеблются около своих положений равновесия. Электроны чаще рассеиваются на этих колебаниях и хуже продвигаются вдоль проводника под действием электрического поля. Поэтому при той же разности потенциалов ток становится меньше, а сопротивление металла увеличивается.

В полупроводнике нагревание действует иначе: оно может передать электронам достаточно энергии, чтобы часть из них стала свободными носителями заряда. Одновременно появляются носители обоих знаков — электроны и дырки, то есть незаполненные электронные состояния, которые ведут себя как положительные заряды. Число носителей обычно растёт сильнее, чем увеличивается рассеяние при нагревании. Поэтому полупроводник чаще проводит ток лучше и его сопротивление уменьшается.

Для металла в небольшом диапазоне температур зависимость сопротивления можно считать линейной: R = R₀(1 + αΔT). Здесь R₀ — сопротивление при выбранной начальной температуре T₀, ΔT = T − T₀ — изменение температуры, а R — сопротивление при температуре T. Чтобы применить формулу, сначала находят именно разность температур, а не подставляют конечную температуру вместо ΔT. Например, при переходе от 20 °C к 70 °C изменение равно 50 °C.

Коэффициент α показывает относительное изменение сопротивления за один градус: при небольшом повышении температуры изменение примерно равно αR₀ на каждый градус. Если α положителен, сопротивление растёт при нагревании; так обычно ведут себя металлы. Если α отрицателен, сопротивление при нагревании падает; такой знак характерен для многих полупроводников. Знак коэффициента позволяет определить направление изменения, а его величина — оценить, насколько оно заметно.

Изменение сопротивления можно превратить в способ измерения температуры: прибор измеряет сопротивление и по заранее известной зависимости находит температуру. Так работают некоторые термометры и датчики; терморезисторы используют для контроля нагрева и автоматического управления устройствами. В цепи защиты изменение сопротивления может ограничивать ток или запускать нужное действие при перегреве. Подходящий элемент выбирают с учётом диапазона температур и того, должно ли сопротивление при нагревании увеличиваться или уменьшаться.

Зависимость сопротивления различных материалов от температуры

Сравнивая столбцы, сначала определите материал, а затем проследите, что происходит с сопротивлением при изменении температуры. Таблица показывает общие закономерности: свойства конкретного вещества могут отличаться. Особенно важно не переносить линейную формулу для металла на полупроводник или сверхпроводник.

Разбор задач

Найти сопротивление при новой температуре

Сопротивление медного проводника при 20 °C равно 10 Ом, а температурный коэффициент сопротивления равен 0,004 1/°C. Найдём сопротивление при 70 °C. Сначала выясним, насколько изменилась температура относительно той, при которой задано R₀: формула использует именно это изменение.

1. Запишем исходные данные: R₀ = 10 Ом, T₀ = 20 °C, T = 70 °C, α = 0,004 1/°C.
2. Найдём изменение температуры: ΔT = T − T₀ = 70 − 20 = 50 °C. Температура выросла, поэтому для металла с положительным α сопротивление должно увеличиться.
3. Подставим данные в формулу: R = R₀(1 + αΔT) = 10(1 + 0,004 · 50) Ом.
4. Вычислим: 0,004 · 50 = 0,2, поэтому R = 10 · 1,2 = 12 Ом.

Ответ: сопротивление проводника при 70 °C равно 12 Ом. Проверка здравого смысла подтверждает результат: температура повысилась, а сопротивление меди должно вырасти. Если бы получилось значение меньше 10 Ом, следовало бы проверить знак изменения температуры и арифметику.

Определить температурный коэффициент

Сопротивление металлического резистора при 20 °C равно 100 Ом, а при 80 °C — 124 Ом. Требуется найти температурный коэффициент. Здесь неизвестен α, поэтому сначала преобразуем формулу зависимости сопротивления, а затем подставим разность температур, соответствующую двум измерениям.

1. Запишем данные: R₀ = 100 Ом, T₀ = 20 °C, R = 124 Ом, T = 80 °C.
2. Найдём ΔT = 80 − 20 = 60 °C. Из R = R₀(1 + αΔT) выразим коэффициент: α = (R/R₀ − 1)/ΔT.
3. Подставим значения: α = (124/100 − 1)/60 = 0,24/60.
4. Вычислим: α = 0,004 1/°C. Проверка: при нагревании на 60 °C сопротивление должно увеличиться на долю 0,004 · 60 = 0,24, то есть на 24% от 100 Ом.

Ответ: α = 0,004 1/°C. Коэффициент получился положительным, что согласуется с тем, что сопротивление металлического резистора выросло со 100 до 124 Ом. Величина коэффициента показывает, что в принятом приближении на каждый градус сопротивление изменяется примерно на 0,4% от начального значения.

Термистор в последовательной цепи

Термистор с отрицательным температурным коэффициентом включён последовательно с постоянным резистором и источником напряжения. Нужно объяснить, что произойдёт с общим сопротивлением и током при нагревании термистора. Отрицательный коэффициент означает, что при повышении температуры сопротивление самого термистора уменьшается.

1. Обозначим сопротивление постоянного резистора R₁, а термистора — R₂. При последовательном соединении общее сопротивление равно Rобщ = R₁ + R₂.
2. При нагревании термистора R₂ уменьшается, тогда как R₁ в условии считается постоянным. Следовательно, сумма Rобщ тоже уменьшается.
3. Для источника с постоянным напряжением используем закон Ома для участка цепи: I = U/Rобщ. Если напряжение не меняется, уменьшение общего сопротивления приводит к увеличению силы тока.
4. Сделаем вывод: после нагревания термистора общее сопротивление цепи уменьшается, а ток возрастает. Это рассуждение предполагает, что напряжение источника постоянно и остальные элементы цепи не меняют своих свойств.

Ответ: общее сопротивление уменьшится, сила тока увеличится. Знак температурного коэффициента задаёт изменение сопротивления термистора, а закон Ома позволяет определить, как вслед за ним изменится ток. При анализе реальной цепи следует также учитывать параметры источника и возможный нагрев остальных элементов.

Типичные ошибки

Подставляют конечную температуру вместо её изменения. Например, при переходе от 20 °C к 70 °C в формуле нужно использовать ΔT = 50 °C, а не 70 °C. Ошибка возникает, когда забывают, что R₀ относится к начальной температуре. Для проверки выпишите отдельно T₀ и T и вычислите ΔT = T − T₀.

Считают, что при нагревании сопротивление любого вещества увеличивается. Это обобщение верно не для всех материалов: у полупроводников сопротивление обычно уменьшается, поскольку при нагревании возрастает число носителей заряда. Ошибку допускают, перенося правило для металлов на другие вещества. Перед расчётом установите, к какому типу относится материал и каков знак его коэффициента.

Путают температурный коэффициент с сопротивлением. α не измеряется в омах: он показывает относительное изменение сопротивления на один градус и имеет единицу 1/°C или 1/K. Путаница возникает из-за того, что коэффициент участвует в формуле вместе с сопротивлением. Проверьте единицы: произведение αΔT безразмерно, поэтому его можно прибавлять к единице.

Применяют линейную формулу при любых температурах. Формула R = R₀(1 + αΔT) — приближение, которое работает в ограниченном диапазоне и не описывает всякое поведение материала. Ошибку допускают, считая математическую запись универсальным законом без условий. Уточните диапазон применимости коэффициента и не используйте формулу для далёких температур или резкого перехода в сверхпроводящее состояние.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в температурной зависимости, нужно знать закон Ома, формулу сопротивления проводника и понятие удельного сопротивления: они связывают свойства материала, размеры проводника и ток. Эта тема помогает анализировать цепи с терморезисторами и другими элементами, сопротивление которых меняется с условиями работы. Она также связана с электронной проводимостью металлов и полупроводников, а при рассмотрении очень низких температур — со сверхпроводимостью.

Что запомнить

• Сопротивление проводника зависит от его температуры.
• Для металлов при нагревании сопротивление обычно увеличивается.
• Для полупроводников при нагревании сопротивление обычно уменьшается.
• Вблизи начальной температуры для металлов используют формулу R = R₀(1 + αΔT).
• Температурный коэффициент сопротивления металлов положителен, а полупроводников — обычно отрицателен.
• Термисторы применяют для измерения температуры и автоматического управления электрическими устройствами.
• При охлаждении некоторых веществ ниже критической температуры возникает сверхпроводимость.