§ 72. Элементы теории электропроводности металлов

Определения и обозначения

Свободные электроны — электроны проводимости в металле, которые могут перемещаться между ионами кристаллической решётки. Они являются носителями электрического тока. Поэтому свойства этих электронов определяют, насколько хорошо металл проводит электричество.

Дрейфовая скорость — средняя скорость направленного движения свободных электронов под действием электрического поля. Она намного меньше хаотической тепловой скорости отдельных электронов. Именно дрейфовая скорость используется при расчёте силы тока.

Время свободного пробега — среднее время между столкновениями электрона с частицами кристаллической решётки. Обозначим его τ. Чем дольше электрон движется между столкновениями, тем сильнее поле успевает разогнать его в нужном направлении.

Классическая электронная теория металлов — модель, объясняющая электрический ток движением свободных электронов в металле. Она позволяет связать наблюдаемые величины, например силу тока и сопротивление, с поведением частиц. В рамках модели электроны считают частицами, которые ускоряются полем и сталкиваются с решёткой.

Как это устроено

В электронной модели металл состоит из положительных ионов, расположенных в узлах кристаллической решётки, и свободных электронов между ними. Валентные электроны слабо связаны с отдельными атомами, поэтому могут перемещаться по всему образцу. Положительные ионы почти неподвижны в среднем, но совершают колебания около положений равновесия.

Когда электрического поля нет, электроны всё равно находятся в движении: они хаотически перемещаются из-за тепловой энергии и сталкиваются с частицами решётки. Для каждого движения в одну сторону в среднем находится движение в противоположную сторону. Поэтому в любом сечении проводника за одинаковое время проходит примерно одинаковый заряд в обе стороны, а результирующий ток равен нулю.

При появлении электрического поля на электрон действует сила, направленная против поля, потому что заряд электрона отрицателен. К прежнему хаотическому движению добавляется слабая составляющая в одном направлении — дрейф. Отдельный электрон по-прежнему движется неровно, но среднее движение большого числа электронов становится направленным.

Столкновение с ионом или колеблющейся частицей решётки изменяет скорость электрона и разрушает накопленную направленность его движения. Однако между столкновениями электрическое поле снова ускоряет электрон, поэтому ток не исчезает. Часть энергии поля передаётся решётке при столкновениях, что проявляется как нагрев металлического проводника.

За время t через сечение S проходит заряд q = enSvt, поэтому сила тока I = q/t = enSv. В установившемся режиме средняя дрейфовая скорость пропорциональна напряжённости поля: v = eEτ/m. Отсюда получается закон Ома в микроскопической форме j = σE и формула σ = ne²τ/m: проводимость растёт с концентрацией электронов n и временем свободного пробега τ.

Движение электронов в металле и возникновение тока

Таблицу удобно читать слева направо: сначала определить условие, затем проследить за движением электронов и сделать вывод о результате. Особенно важно различать отсутствие поля и установившееся движение в поле. В первом случае нет среднего дрейфа, а во втором он сохраняется благодаря постоянному действию поля.

Разбор задач

Задача 1. В металлическом проводнике нет электрического поля. Объясните, почему электроны движутся, но электрического тока нет.

1. Электроны обладают тепловой энергией, поэтому постоянно и беспорядочно перемещаются между частицами решётки.
2. Рассмотрим поперечное сечение проводника. В среднем столько же электронов пересекает его в одну сторону, сколько — в противоположную.
3. Взаимно противоположные переносы зарядов компенсируются, поэтому средняя дрейфовая скорость и результирующая сила тока равны нулю.

Ответ: хаотическое движение есть, но направленного переноса заряда нет, поэтому электрический ток отсутствует.

Задача 2. Электроны в проводнике имеют концентрацию n и дрейфовую скорость v. Запишите связь между силой тока, зарядом электрона, площадью поперечного сечения и этими величинами.

1. За время t через сечение S проходят электроны из объёма Svt.
2. Их число равно nSvt, а заряд по модулю равен q = enSvt.
3. Разделим заряд на время: I = q/t = enSv.

Ответ: I = enSv, где e — модуль заряда электрона, S — площадь сечения, v — дрейфовая скорость.

Задача 3. Для двух металлических проводников известны концентрации свободных электронов и времена между столкновениями. Сравните их удельные проводимости, считая массу электрона одинаковой.

1. Для каждого проводника используем формулу σ = ne²τ/m.
2. В обоих случаях e и m одинаковы, поэтому сравнивать нужно только произведения nτ.
3. Если n₁τ₁ больше n₂τ₂, то σ₁ больше σ₂ во столько раз, во сколько больше это произведение: σ₁/σ₂ = n₁τ₁/(n₂τ₂).

Ответ: проводник с большим произведением nτ имеет большую удельную проводимость.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать, что электроны начинают двигаться только после включения поля. Так думают, потому что ток связывают с работой цепи, но тепловое движение существует всегда. Проверьте себя: даже при нулевом токе электроны не неподвижны, а их средняя направленная скорость равна нулю.

Ошибка 2. Отождествлять хаотическую скорость с дрейфовой. Хаотическая скорость отдельного электрона велика, но её направления взаимно компенсируются; ток определяется малой средней добавкой. Для проверки разделяйте беспорядочную скорость и величину v в формуле I = enSv.

Ошибка 3. Направлять дрейф электронов по полю. Причина ошибки — привычное направление тока положительных зарядов, тогда как электрон заряжен отрицательно. Проверьте знак: сила на электрон направлена противоположно вектору электрического поля.

Ошибка 4. Считать столкновения причиной полного прекращения движения. Столкновения лишь меняют движение и ограничивают дрейф, а поле продолжает ускорять электроны между ними. Если поле действует, установившийся ток сохраняется, хотя скорость каждого электрона постоянно меняется.

Связь с другими темами

Для изучения электропроводности нужны понятия электрического тока, силы тока, электрического поля и заряда электрона. Они позволяют перейти от движения отдельных частиц к измеряемым величинам цепи. Без различия заряда и направления поля легко ошибиться в направлении дрейфа.

Эта тема связывает микроскопическое движение электронов с законом Ома и сопротивлением проводника. Формула σ = ne²τ/m объясняет, почему проводимость зависит от свойств вещества. Через σ можно понять, от чего зависит сопротивление проводника заданных размеров.

Модель пригодится при изучении зависимости сопротивления металлов от температуры и электрического нагрева. При нагревании усиливаются колебания решётки и чаще происходят столкновения электронов. Поэтому время свободного пробега обычно уменьшается, а сопротивление металла возрастает.

Что запомнить

• Носителями тока в металлах являются свободные электроны.
• Без электрического поля электроны движутся хаотически, поэтому их средняя скорость направленного движения равна нулю.
• Поле создаёт дрейф электронов против своего направления.
• Сила тока связана с дрейфовой скоростью формулой I = enSv.
• Столкновения электронов с решёткой ограничивают их дрейф.
• В классической модели удельная проводимость металла σ = ne²τ/m.