§ 22. Интерференция волн

Определения и обозначения

Интерференция волн — наложение волн, при котором в одних точках колебания усиливаются, а в других ослабевают. Это результат совместного действия волн в одной области пространства. Понятие нужно, чтобы объяснять устойчивое чередование максимумов и минимумов.

Когерентные волны имеют одинаковую частоту и постоянную во времени разность фаз. Поэтому их усиление и ослабление происходят в одних и тех же точках. Именно когерентность позволяет увидеть неподвижную интерференционную картину.

Разность хода — разность расстояний, пройденных волнами от источников до выбранной точки; её обозначают δ. Она показывает, насколько одна волна «опережает» другую по пройденному пути. По δ удобно определять, совпадут ли фазы волн.

Разность фаз — разность фаз колебаний, пришедших в одну точку. Она связана с разностью хода формулой Δφ = 2πδ/λ. Поэтому изменение пути на одну длину волны возвращает прежнюю разность фаз.

Как это устроено

При наложении волн складываются смещения частиц среды, а не их энергии по отдельности. Если в некоторый момент обе волны отклоняют частицу в одну сторону, смещения складываются. Если одна волна направляет её вверх, а другая вниз, смещения частично компенсируются.

При совпадении фаз гребни приходят вместе с гребнями, а впадины — с впадинами. Амплитуда результирующего колебания становится больше, потому что одинаковые смещения направлены согласованно. Разность хода δ = kλ означает, что одна волна прошла целое число дополнительных длин волн и снова пришла в той же фазе.

При противофазе гребень одной волны совпадает с впадиной другой. Тогда смещения направлены противоположно и результат ослабляется. Противофаза возникает при разности хода δ = (k + ½)λ: дополнительный путь содержит нечётное число полуволн.

Для двух когерентных источников разность фаз в точке определяется разностью хода: Δφ = 2πδ/λ. Поэтому геометрия расположения источников и точки наблюдения задаёт, где появятся максимумы и минимумы. Длина волны влияет на расстояние между такими областями: при меньшей λ фаза меняется быстрее вдоль пространства.

При равных амплитудах интенсивность меняется от нуля до максимума: I/Imax = cos²(Δφ/2). Нулевая интенсивность получается только в противофазе, когда вклады волн полностью компенсируют друг друга. Если амплитуды различны, более сильная волна не может быть полностью уничтожена слабой, поэтому минимум остаётся отличным от нуля.

Условия усиления и ослабления волн

Сначала найдите разность хода, а затем сравните её с λ или с половиной длины волны. Здесь k — любое целое число, а минимум при разных амплитудах означает ослабление, но не обязательно нулевой результат.

Разбор задач

Задача 1

Дано: λ = 0,60 м, δ = 1,20 м. Нужно определить характер наложения. Сравним разность хода с длиной волны, потому что максимум возникает при δ = kλ.

1. Находим отношение: δ/λ = 1,20/0,60 = 2.
2. Получилось целое число, значит δ = 2λ.
3. Следовательно, волны приходят в одинаковой фазе.

Ответ: наблюдается усиление, интерференционный максимум.

Задача 2

Дано: λ = 0,50 м, δ = 0,75 м. Искомый характер интерференции определим по числу длин волн в разности хода. Для минимума это число должно иметь вид k + ½.

1. Вычисляем: δ/λ = 0,75/0,50 = 1,5.
2. Число 1,5 = 1 + ½, поэтому δ = (k + ½)λ при k = 1.
3. Фазы противоположны, и волны ослабляют друг друга.

Ответ: наблюдается интерференционный минимум.

Задача 3

Источники разделены расстоянием d = 0,20 м, длина волны λ = 0,010 м. Для точки на отрезке между источниками расстояния до источников равны x и d − x, поэтому δ = |x − (d − x)| = |2x − d|. Нужно пересчитать все точки, для которых δ = kλ.

1. Максимальная разность хода на отрезке равна d, поэтому kλ ≤ d и k = 0, 1, …, 20.
2. При k = 0 получается одна точка — середина отрезка.
3. При k = 1–19 каждому значению соответствуют две симметричные точки, всего 19 · 2 = 38.
4. При k = 20 получаются два конца отрезка, ещё 2 точки.

Ответ: 1 + 38 + 2 = 41 максимум.

Типичные ошибки

Считать, что любые две волны дают устойчивую картину, — ошибка. Если источники не когерентны, их разность фаз меняется, и максимумы с минимумами перемещаются или усредняются. Проверьте, указаны ли одинаковая частота и постоянная разность фаз.

Иногда целое число длин волн ошибочно принимают за минимум. На самом деле δ = kλ даёт максимум, а δ = (k + ½)λ — минимум. Для проверки переведите условие в число половинных волн.

Минимум не всегда означает полное гашение. Нулевой результат возможен только при равных амплитудах, потому что равные противоположные смещения взаимно уничтожаются. Если амплитуды различаются, сравните их перед выводом.

Нельзя подставлять δ вместо Δφ без пересчёта. Разность хода измеряется в метрах, а разность фаз — в радианах, и связаны они формулой Δφ = 2πδ/λ. Проверьте единицы и наличие множителя 2π.

Связь с другими темами

Для понимания интерференции нужны длина волны, частота, фаза и принцип суперпозиции. Частота задаёт число колебаний, длина волны связывает её со скоростью распространения, а суперпозиция объясняет сложение смещений.

Интерференция помогает измерять длину волны и малые расстояния. Она также объясняет цвета тонких плёнок и используется в интерферометрах, где малое изменение пути превращается в заметное изменение картины.

С дифракцией интерференцию объединяет волновая природа: оба явления связаны со сложением волн. Различие в том, что дифракция особенно проявляется при огибании препятствий и прохождении через отверстия.

Что запомнить

• Интерференция — результат наложения волн, при котором возникают устойчивые максимумы и минимумы.
• Для устойчивой интерференционной картины нужны когерентные волны.
• Максимум возникает при δ = kλ, где k — целое число.
• Минимум возникает при δ = (k + ½)λ.
• Разность фаз связана с разностью хода формулой Δφ = 2πδ/λ.
• Полное гашение возможно при равных амплитудах волн.