3. Построение изображения в линзе

Определения и обозначения

Главный луч — луч, ход которого после прохождения через линзу можно определить по одному из основных правил построения. Обычно используют луч, параллельный главной оптической оси, луч через оптический центр и луч, направленный к фокусу. Такие лучи позволяют быстро найти изображение без расчёта преломления каждого луча.

Фокус линзы — точка на главной оптической оси, в которой после преломления собираются лучи, падавшие на собирающую линзу параллельно оси. У рассеивающей линзы пересекаются не сами лучи, а их продолжения перед линзой. Фокус нужен, чтобы определить направление главных лучей после преломления.

Действительное изображение — изображение, образованное пересечением самих лучей. Лучи действительно проходят через точки такого изображения, поэтому его можно получить на экране. При построении оно обычно возникает за собирающей линзой, когда после неё лучи сходятся.

Мнимое изображение — изображение, образованное пересечением продолжений лучей. В действительности световые лучи через эту точку не проходят, поэтому поставить экран и получить на нём изображение нельзя. Такое изображение часто создаёт рассеивающая линза.

Как это устроено

Изображение протяжённого предмета строят по его точкам, чаще всего по верхней и нижней. Из верхней точки проводят два главных луча, потому что для каждого из них заранее известно направление после линзы. Их пересечение задаёт верхнюю точку изображения, а основание изображения определяется главной оптической осью и положением нижней точки предмета.

Луч, падающий на собирающую линзу параллельно главной оптической оси, после преломления проходит через фокус. Линза изменяет направление лучей так, чтобы они сходились на оси в фокальной точке. У рассеивающей линзы такой луч отклоняется от оси, а его продолжение назад проходит через фокус перед линзой: это показывает, откуда луч как будто вышел.

Луч через оптический центр тонкой линзы считают не меняющим направления. Причина в том, что при малой толщине линзы отклонения на её передней и задней поверхностях в школьной модели практически компенсируются. Поэтому такой луч можно провести одной прямой и использовать как второй луч для нахождения изображения.

Если луч направлен к фокусу собирающей линзы до встречи с ней, после линзы он идёт параллельно главной оптической оси. Для рассеивающей линзы аналогично строят луч, направленный к фокусу за линзой: после преломления он становится параллельным оси. Это правило удобно применять, когда луч через оптический центр неудобно проводить или нужно проверить результат.

Пересечение самих лучей показывает действительное изображение, а пересечение их продолжений — мнимое. По расстоянию найденной точки от оси судят о размере изображения, а по её положению выше или ниже оси — о прямом или перевёрнутом положении. Поэтому одно построение даёт сразу положение, размер, ориентацию и вид изображения.

Правила построения главных лучей в тонкой линзе

Сначала выберите точку предмета и проведите из неё любые два удобных главных луча. Затем примените к каждому лучу соответствующее правило из таблицы. Если сходятся сами лучи, продолжать их назад не нужно; если они расходятся, продолжения помогают найти мнимое изображение.

Таблица описывает идеализированную тонкую линзу, поэтому луч через оптический центр считают прямым. Третий главный луч можно построить для проверки: он должен пройти через уже найденную точку изображения.

Разбор задач

Задача 1. Предмет за двойным фокусом собирающей линзы

Предмет находится за двойным фокусом собирающей линзы. Требуется построить изображение верхней точки и определить его положение и свойства. Обозначим фокус через F, а двойное фокусное расстояние — через 2F.

1. Из верхней точки предмета проведите луч параллельно главной оптической оси; после линзы он должен пройти через фокус.
2. Проведите второй луч через оптический центр; он продолжится по прямой.
3. Найдите пересечение этих лучей и опустите из него перпендикуляр на главную ось, чтобы получить изображение предмета.

Точка пересечения окажется между F и 2F. Изображение действительное, перевёрнутое и уменьшенное, потому что сами лучи сходятся, а высота изображения меньше высоты предмета.

Задача 2. Предмет между фокусом и двойным фокусом

Предмет расположен между F и 2F собирающей линзы. Нужно установить положение, размер и ориентацию изображения. Построение выполняется теми же двумя главными лучами, но расстояние до линзы теперь меньше.

1. Проведите из верхней точки предмета параллельный оси луч, который после линзы пойдёт через дальний фокус.
2. Проведите луч через оптический центр без изменения направления.
3. Продлите оба луча до пересечения и сравните найденную точку с положениями F и 2F.

Пересечение находится за 2F, то есть дальше двойного фокуса. Изображение действительное и перевёрнутое, а его размер больше размера предмета: приближение предмета к фокусу усиливает увеличение.

Задача 3. Предмет перед рассеивающей линзой

Предмет расположен перед рассеивающей линзой. Нужно определить, где появится изображение относительно линзы и предмета. Для этого особенно важно отличать реальные лучи от их продолжений.

1. Проведите из верхней точки луч параллельно оси; после линзы он будет расходиться так, будто вышел из ближнего фокуса.
2. Проведите второй луч через оптический центр; он сохранит прямолинейное направление.
3. Продолжите расходящиеся лучи назад, в сторону предмета, и найдите пересечение их продолжений.

Изображение окажется между линзой и её ближним фокусом, то есть ближе к линзе, чем предмет. Оно мнимое, прямое и уменьшенное, поскольку пересекаются только продолжения лучей, а не сами лучи.

Типичные ошибки

Параллельный луч после собирающей линзы иногда проводят через точку на линзе, а не через фокус. Так происходит, если фокус путают с местом преломления. Проверьте себя: фокус всегда находится на главной оси на некотором расстоянии от линзы.

Луч через оптический центр иногда направляют к фокусу. Ошибка возникает из-за смешения двух независимых правил: один луч идёт прямо, а другой связан с фокусом. Проверьте построение, мысленно убрав фокус: луч через центр всё равно должен оставаться прямым.

При мнимом изображении ученики продолжают реальные лучи назад и считают их настоящими. Продолжения нужны только как геометрические линии, показывающие кажущееся место выхода света. Проверьте себя: если точка получается на пересечении продолжений, экран в ней изображения не поймает.

Положение изображения иногда определяют по одному лучу. Один луч задаёт направление, но не подтверждает точку пересечения: ошибку в его построении невозможно заметить. Всегда проводите минимум два луча из одной точки предмета и проверяйте, сходятся ли они в одной точке.

Связь с другими темами

Перед построением нужно знать, как преломляется свет в линзе, чем собирающая линза отличается от рассеивающей и где находятся фокус и главная оптическая ось. Без этих представлений невозможно правильно выбрать направление главных лучей. Построение переводит свойства линзы в наглядную геометрическую схему.

Далее эти схемы связывают с формулой тонкой линзы и формулой увеличения. Они помогают понять работу лупы, фотоаппарата, микроскопа и других оптических приборов. По построению также можно заранее определить, получится ли изображение на экране.

Что запомнить

• Для построения изображения точки предмета достаточно двух главных лучей.
• Луч, параллельный главной оптической оси, после линзы связан с её фокусом.
• Луч через оптический центр тонкой линзы не меняет направления.
• Действительное изображение образуют сами лучи.
• Мнимое изображение образуют продолжения лучей.
• Изображение протяжённого предмета строят по изображениям его характерных точек.