§ 64. Построение изображения в линзе

Определения и обозначения

Главная оптическая ось — прямая, проходящая через центры сферических поверхностей линзы; на ней лежат оптический центр и главные фокусы. Её используют как основное направление при построениях. Расстояние от линзы до фокуса обозначают F. Относительно оси также удобно описывать положение предмета и изображения.

Оптический центр — точка тонкой линзы, через которую луч проходит практически без изменения направления. На схемах эту точку обычно обозначают O. Она позволяет провести один из характерных лучей без изменения его направления. Слово «практически» напоминает, что правило является приближением для тонкой линзы.

Главный фокус линзы — точка на главной оптической оси, в которой после линзы собираются лучи, шедшие параллельно оси, или точка, из которой они кажутся расходящимися. У собирающей линзы фокус действительный, у рассеивающей — мнимый. Фокус нужен, чтобы определить направление параллельных оси лучей после преломления. Расстояние от оптического центра до главного фокуса называют фокусным расстоянием.

Фокальная плоскость — плоскость, перпендикулярная главной оптической оси и проходящая через главный фокус. Она содержит точки, в которые могут собираться лучи, идущие параллельно друг другу, но не обязательно параллельно главной оси. Поэтому фокальная плоскость полезна при построении лучей под наклоном. Для обычного построения изображения предмета достаточно отметить на схеме главные фокусы.

Как это устроено

Изображение одной точки строят по двум или трём характерным лучам. Каждый выбранный луч после линзы можно провести по известному правилу, поэтому не приходится отдельно рассчитывать преломление на каждой поверхности. Там, где преломлённые лучи пересекутся, окажется действительное изображение точки. Если сами лучи не встретятся, рассматривают место встречи их продолжений.

Луч, параллельный главной оптической оси, после собирающей линзы проходит через главный фокус. Причина в том, что линза преломляет лучи к оси и сводит параллельный пучок в фокусе. Рассеивающая линза, напротив, разводит такой пучок: лучи после неё расходятся. Если продлить их назад, они сойдутся в мнимом фокусе, поэтому на схеме часто проводят именно такое продолжение.

Луч через оптический центр тонкой линзы проводят прямой линией. В тонкой линзе преломления на двух поверхностях в сумме почти компенсируют отклонение такого луча. Поэтому это правило заметно упрощает построение и подходит как для собирающей, так и для рассеивающей линзы. Для толстой линзы считать этот луч строго прямым нельзя.

Если луч направить через главный фокус собирающей линзы к линзе, после преломления он пойдёт параллельно главной оси. Это обратное правило для луча, который до линзы шёл параллельно оси: ход светового луча обратим. Для рассеивающей линзы применяют аналогичное рассуждение с мнимым фокусом. На схеме к линзе направляют луч так, чтобы его продолжение за линзой проходило через этот фокус, после чего преломлённый луч проводят параллельно оси.

Пересечение преломлённых лучей даёт действительное изображение: в этой точке действительно встречаются световые лучи. Если встречаются только продолжения, получается мнимое изображение — лучи лишь кажутся исходящими из одной точки. Чтобы построить изображение протяжённого предмета, достаточно найти изображения его крайних точек. Соединив их, получают изображение предмета и могут сравнить его размер и ориентацию с исходным.

Изображение в собирающей линзе при разных положениях предмета

Сначала найдите положение предмета относительно F и 2F, а затем прочитайте соответствующую строку. F — расстояние от линзы до главного фокуса, а 2F — удвоенное фокусное расстояние. При предмете в фокусе лучи выходят параллельно, поэтому конечное изображение на экране не образуется.

Разбор задач

Задача 1. Предмет расположен перед собирающей линзой дальше двойного фокусного расстояния. Постройте изображение его верхней точки и укажите характер изображения.

1. Нарисуйте главную ось, линзу, фокусы F и точки 2F по обе стороны от неё. Предмет изобразите стрелкой слева от линзы, причём дальше 2F.
2. От верхней точки проведите луч параллельно главной оси. После линзы направьте его через правый фокус, поскольку линза собирающая.
3. Проведите от той же точки второй луч через оптический центр O прямо. Его пересечение с первым лучом отметьте за линзой.
4. Из точки пересечения опустите перпендикуляр на ось: так найдётся основание изображения. Оно окажется между F и 2F, а стрелка будет направлена вниз.

Ответ: изображение действительное, перевёрнутое и уменьшенное. Оно находится между F и 2F по другую сторону линзы, потому что пересеклись сами преломлённые лучи. Место пересечения продолжений здесь искать не нужно.

Задача 2. Предмет находится между фокусом и двойным фокусом собирающей линзы. Постройте изображение и сравните его размер с предметом.

1. Проведите главную ось, отметьте линзу, F и 2F. Предмет поставьте между этими отметками слева от линзы.
2. От верхней точки проведите луч параллельно оси, а после линзы — через правый фокус. Затем проведите второй луч через оптический центр без изменения направления.
3. Найдите пересечение преломлённых лучей и восстановите от него перпендикуляр к оси. Оно будет за двойным фокусом, то есть дальше от линзы, чем сам предмет.
4. Сравните высоту стрелок: изображение выше предмета и направлено вниз. Пересечение самих лучей означает, что изображение действительное.

Ответ: изображение действительное, перевёрнутое и увеличенное. Его размер больше размера предмета, потому что при таком положении предмета лучи пересекаются далеко за 2F. Вывод подтверждают и место пересечения, и высота построенной стрелки.

Задача 3. Предмет расположен между рассеивающей линзой и её фокусом. Постройте изображение и объясните, почему оно мнимое.

1. Нарисуйте рассеивающую линзу и главную ось, отметьте её мнимые фокусы. Предмет поставьте между линзой и левым фокусом.
2. От верхней точки проведите луч параллельно оси. После линзы он расходится так, будто пришёл из ближнего мнимого фокуса; проведите преломлённый луч и его продолжение назад.
3. Второй луч направьте через оптический центр: в приближении тонкой линзы он проходит прямо. Продолжите его назад до пересечения с продолжением первого луча.
4. В точке пересечения продолжений отметьте верх изображения и опустите отрезок к оси. Изображение расположится со стороны предмета, будет прямым и меньшим.

Ответ: изображение мнимое, прямое и уменьшенное. После линзы лучи расходятся и не встречаются; пересекаются только проведённые назад продолжения. Поэтому изображение нельзя получить на экране.

Типичные ошибки

Считать, что луч через оптический центр всегда идёт по прямой без оговорок, — значит забыть об условности модели. Это правило принимают для тонкой линзы, поэтому его бездумно переносят на линзы любой толщины. Проверьте себя: в построении рассматривается именно тонкая линза? Если нет, прямой ход луча через центр не гарантирован.

Строить луч от фокуса после линзы параллельно оси, не выяснив тип линзы, — ошибка направления. Правило применяют с учётом того, собирающая линза или рассеивающая и действительный у неё фокус или мнимый. Ошибка возникает, когда правило для собирающей линзы механически переносят на рассеивающую. До проведения луча отметьте фокус и проверьте, идёт ли луч к нему или его продолжение.

При построении мнимого изображения искать пересечение самих лучей неправильно: они расходятся и могут вовсе не встретиться. Обычно так ошибаются, потому что на рисунке продолжения линий не сразу отличимы от лучей. Проверка проста: стрелками укажите направление распространения света после линзы. Если пересекаются только продолжения, изображение мнимое.

Путать действительность изображения с его ориентацией — значит смешивать два независимых признака. Действительность определяют по тому, что пересекается: лучи или продолжения; ориентацию — по направлению изображения относительно предмета. Поэтому изображение нельзя называть действительным только потому, что оно перевёрнуто. Проверьте оба свойства отдельно.

Связь с другими темами

Для построений нужно знать, как свет преломляется на границе сред, и отличать собирающую линзу от рассеивающей: именно преломление меняет направление лучей. Главная ось, фокус и фокусное расстояние задают опорные точки схемы. По найденным положениям предмета и изображения можно перейти к формуле тонкой линзы и расчётам. Эти же правила объясняют работу оптических приборов и образование изображения глазом.

Что запомнить

• Для построения изображения точки достаточно двух характерных лучей.
• Параллельный главной оси луч после собирающей линзы проходит через фокус.
• Луч через оптический центр тонкой линзы считают не изменяющим направления.
• Действительное изображение образуется пересечением преломлённых лучей.
• Мнимое изображение находят по пересечению продолжений лучей.
• Изображение предмета строят по изображениям его крайних точек.