§ 65. Формула тонкой линзы. Увеличение линзы

Определения и обозначения

Тонкая линза — линза, толщиной которой в рассматриваемых задачах можно пренебречь по сравнению с радиусами кривизны её поверхностей. Это приближение позволяет считать, что преломление лучей происходит в одной плоскости, проходящей через оптический центр. Так проще строить изображения и выполнять расчёты.

Главное фокусное расстояние — расстояние от оптического центра линзы до её главного фокуса. У собирающей линзы оно положительно, у рассеивающей — отрицательно. Знак помогает учесть, как линза действует на лучи, в формулах и при решении задач.

Формула тонкой линзы связывает фокусное расстояние, расстояние от предмета до линзы и расстояние от линзы до изображения: 1/F = 1/d + 1/f. Здесь F — фокусное расстояние, d — расстояние до предмета, f — расстояние до изображения. Формула позволяет найти неизвестное расстояние, если известны два других.

Линейное увеличение — отношение линейного размера изображения к размеру предмета. Его модуль равен отношению расстояния до изображения к расстоянию до предмета: |Γ| = |f|/d, а также |h′|/h. Увеличение показывает масштаб изображения, а его знак при записи с учётом ориентации указывает, прямое оно или перевёрнутое.

Как это устроено

Чтобы построить изображение, от верхней точки предмета проводят два главных луча. Луч через оптический центр тонкой линзы практически не меняет направления, потому что преломления на двух поверхностях взаимно компенсируются. Луч, идущий параллельно главной оптической оси, после собирающей линзы проходит через фокус, а после рассеивающей расходится так, будто выходит из фокуса перед линзой.

Формулу линзы можно вывести из подобия треугольников, которые образуют предмет и изображение с главной осью, а также фокус и оптический центр с преломлёнными лучами. Подобие означает, что отношения соответствующих сторон в этих треугольниках равны. После выражения отношений через расстояния до предмета d, изображения f и фокуса F и объединения полученных равенств выходит 1/F = 1/d + 1/f. Расстояния отсчитывают от оптического центра линзы вдоль главной оси.

Знаки расстояний нужны, чтобы формула описывала разные случаи одним способом. Расстояние до действительного предмета положительно, как и расстояние до действительного изображения, возникающего по другую сторону линзы. Если пересекаются только продолжения лучей, изображение мнимое и f отрицательно. Фокусное расстояние F также записывают со знаком: плюс для собирающей линзы, минус для рассеивающей.

Увеличение сравнивает размеры изображения и предмета: Γ = h′/h, а по модулю |Γ| = |f|/d. Если изображение перевёрнуто, его высоту при знаковом описании берут отрицательной, поэтому Γ < 0; для прямого изображения Γ > 0. Модуль меньше единицы означает уменьшенное изображение, больше единицы — увеличенное, а равенство единице — одинаковые размеры.

У собирающей линзы результат зависит от того, где предмет находится относительно фокуса F и расстояния 2F. Предмет дальше 2F даёт изображение между F и 2F, а предмет в 2F — в 2F. Если предмет между F и 2F, изображение возникает дальше 2F; все эти изображения действительные и перевёрнутые. В самом фокусе лучи после линзы идут параллельно, поэтому конечного изображения на экране нет, а внутри фокусного расстояния получается мнимое прямое увеличенное изображение.

Изображение предмета в собирающей линзе

Сначала найдите положение предмета относительно F и 2F, затем прочитайте соответствующую строку. Таблица помогает определить характер изображения и оценить его размер без расчётов. Для точного положения или увеличения используйте формулу линзы.

Разбор задач

Задача 1

Предмет находится в 30 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 10 см. Требуется найти расстояние до изображения и определить, действительное ли оно. Так как предмет действительный, d = 30 см, а для собирающей линзы F = +10 см. Неизвестное расстояние обозначим f.

1. Записываем формулу: 1/F = 1/d + 1/f.
2. Подставляем значения: 1/10 = 1/30 + 1/f, значит 1/f = 1/10 − 1/30 = 1/15.
3. Получаем f = +15 см. Положительный знак показывает, что изображение действительное.

Ответ: изображение находится в 15 см от линзы и является действительным. Оно образуется по другую сторону линзы, потому что там пересекаются сами преломлённые лучи. Предмет расположен дальше 2F, поэтому изображение уменьшенное и перевёрнутое.

Задача 2

Предмет высотой 4 см находится в 15 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 10 см. Нужно найти положение, размер и ориентацию изображения. Здесь d = 15 см, F = +10 см, а высота предмета h = 4 см. Сначала вычислим f, затем найдём увеличение.

1. По формуле 1/f = 1/F − 1/d = 1/10 − 1/15 = 1/30, поэтому f = +30 см.
2. Модуль увеличения равен |f|/d = 30/15 = 2. Высота изображения по модулю h′ = 2 · 4 = 8 см.
3. Предмет находится между F и 2F, поэтому изображение действительное и перевёрнутое; его знаковое увеличение Γ = −2.

Ответ: изображение находится в 30 см от линзы, его высота равна 8 см, оно перевёрнутое. Положительное расстояние подтверждает, что изображение действительное. Увеличение по модулю равно 2, то есть изображение вдвое выше предмета.

Задача 3

Рассеивающая линза с фокусным расстоянием 12 см создаёт изображение предмета, расположенного в 18 см от неё. Нужно определить положение и характер изображения, а также увеличение. Для рассеивающей линзы F = −12 см, а расстояние до действительного предмета d = +18 см. Неизвестное расстояние до изображения обозначим f.

1. Подставляем знаки в формулу: 1/f = 1/F − 1/d = −1/12 − 1/18 = −5/36.
2. Отсюда f = −36/5 см = −7,2 см. Отрицательный знак означает, что изображение мнимое и находится со стороны предмета.
3. Увеличение Γ = −f/d = −(−7,2)/18 = +0,4. Плюс показывает прямую ориентацию, а модуль меньше единицы — уменьшенный размер.

Ответ: изображение мнимое, прямое и расположено в 7,2 см от линзы со стороны предмета; увеличение равно +0,4. Если высота предмета известна, высота изображения составит 0,4 от неё. Отрицательное расстояние здесь не ошибка, а следствие правила знаков для мнимого изображения.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать все расстояния положительными. Так часто поступают, потому что в условии расстояние дано обычным числом без знака, но для рассеивающей линзы и мнимого изображения это приводит к неверному результату. Перед подстановкой определите тип линзы и изображения, затем проверьте знак найденного f.

Вторая ошибка — путать d, f и F: эти обозначения относятся к разным расстояниям. Их легко смешать, если сразу подставлять числа в формулу без предварительной записи величин. Проверьте, что d относится к предмету, f — к изображению, а F — к фокусу линзы.

Третья ошибка — считать, что любое положительное увеличение означает, что изображение увеличено. На самом деле размер характеризует модуль: при |Γ| < 1 изображение уменьшено, а при |Γ| > 1 — увеличено. Сверьте вычисленный модуль с отношением размеров или расстояний.

Четвёртая ошибка — учитывать только модуль увеличения и забывать ориентацию изображения. Модуль сообщает, во сколько раз изменился размер, а знак показывает, прямое изображение или перевёрнутое. Проверьте знак отдельно: действительное изображение в данной схеме построения перевёрнуто, поэтому Γ < 0.

Связь с другими темами

Для работы с формулой нужно уметь строить изображения по главным лучам и различать действительные и мнимые изображения. Пригодятся также понятия главного фокуса, оптической оси и фокусного расстояния. Вывод формулы опирается на подобие треугольников, поэтому полезно уверенно находить отношения соответствующих сторон.

Та же связь положения предмета и изображения важна при изучении оптических приборов. В фотоаппарате изображение формируется на матрице или плёнке, а микроскоп и телескоп используют системы линз для получения увеличенного изображения. Формула помогает описывать такие системы количественно.

Что запомнить

• Формула тонкой линзы: 1/F = 1/d + 1/f.
• Для собирающей линзы фокусное расстояние положительно, для рассеивающей — отрицательно.
• Действительное изображение образуется при пересечении самих лучей, мнимое — при пересечении их продолжений.
• Увеличение по модулю равно отношению размера изображения к размеру предмета.
• Для действительного изображения линейное увеличение отрицательно, поскольку изображение перевёрнуто.
• Если расстояние до изображения получилось отрицательным, изображение мнимое.