3. Построение изображения в линзе

Определения и обозначения

Главная оптическая ось — прямая, проходящая через оптический центр линзы и центры её сферических поверхностей. На схеме её проводят горизонтально и отмечают на ней линзу, фокусы и расстояния до предмета и изображения. Ось нужна как основная линия отсчёта: по ней определяют, где расположены предмет и изображение.

Оптический центр — точка тонкой линзы, через которую луч проходит практически без изменения направления. На рисунке его обычно обозначают O и помещают в месте пересечения линзы с главной осью. Этот центр помогает быстро провести один из главных лучей и найти изображение без подробного расчёта преломления на обеих поверхностях.

Главный фокус — точка на главной оптической оси, в которой после линзы сходятся лучи, шедшие параллельно оси, или из которой такие лучи кажутся выходящими. У собирающей линзы параллельные лучи действительно сходятся в фокусе, а у рассеивающей пересекаются их мысленные продолжения. Фокус отмечают буквой F, чтобы строить преломлённые лучи.

Фокусное расстояние — расстояние от оптического центра O до главного фокуса F; его обозначают строчной буквой f. Буквой F обычно обозначают сам фокус, а не расстояние до него, поэтому эти обозначения не следует путать. Величина f характеризует линзу: чем она меньше, тем сильнее линза изменяет направление лучей.

Как это устроено

Для построения изображения достаточно выбрать два-три главных луча, потому что все лучи, вышедшие из одной точки предмета, после линзы собираются в одной точке изображения либо расходятся так, будто вышли из неё. Направление главных лучей заранее известно, поэтому для них не нужно каждый раз разбирать преломление на обеих поверхностях линзы. Два луча дают точку пересечения, а третий позволяет проверить, что построение выполнено согласованно.

Луч, идущий параллельно главной оптической оси, после собирающей линзы проходит через главный фокус. Это происходит потому, что собирающая линза отклоняет параллельные лучи к оси, а её форма направляет их к общей точке. После рассеивающей линзы такой луч, наоборот, отклоняется от оси; если продолжить его назад, продолжение пройдёт через фокус. Поэтому на схеме реальный луч рисуют сплошной линией, а его мысленное продолжение — штриховой.

Луч через оптический центр тонкой линзы считают не меняющим направления, поскольку преломления на двух поверхностях вблизи этого центра практически компенсируют друг друга. Такое приближение работает для тонкой линзы и лучей, близких к главной оси. Благодаря ему можно провести линию от вершины предмета прямо через O и не менять её наклон после линзы.

Чтобы определить действительное изображение, проводят от вершины предмета два главных луча и находят точку, в которой они пересеклись после преломления. Пересечение самих лучей показывает место изображения, а отрезок от оси до этой точки — его размер. Если точка оказалась по другую сторону оси, изображение перевёрнуто; если по ту же — прямое. Для мнимого изображения сами лучи не пересекаются, поэтому ищут пересечение их продолжений назад.

Рассеивающая линза направляет лучи от каждой точки предмета в стороны, и за линзой они не могут сойтись в действительную точку изображения. Их продолжения назад пересекаются между линзой и её фокусом, поэтому изображение мнимое и находится со стороны предмета. Точка изображения остаётся по ту же сторону главной оси, что и соответствующая точка предмета, — оно прямое. Пересечение продолжений ближе к оси, чем вершина предмета, поэтому изображение уменьшено.

Построение и свойства изображения в собирающей линзе

Сначала отметьте на главной оси оптический центр, фокусы F и точки 2F, а затем найдите в таблице строку для положения предмета. Сопоставьте ответ построения с таблицей: положение, размер и ориентация должны совпасть. Если предмет стоит точно в F, лучи выходят параллельно, и конечной точки пересечения на схеме нет.

Разбор задач

Предмет дальше двойного фокусного расстояния

Условие. Предмет расположен перед собирающей линзой на расстоянии большем, чем 2f. Требуется построить изображение и определить его свойства. Числовые значения расстояний не заданы, поэтому решение будет геометрическим.

1. Проведём главную оптическую ось, линзу и отметим на оси точки F и 2F по обе стороны линзы. Вершину предмета обозначим A, а основание поставим на ось. Такая разметка сразу показывает, что предмет находится дальше 2F.

2. Из точки A проведём луч параллельно главной оси. После собирающей линзы направим его через фокус F на противоположной стороне. Второй луч проведём через оптический центр O: он продолжит путь без изменения направления.

3. Найдём пересечение лучей за линзой и опустим из него перпендикуляр к оси. Пересечение лежит между F и 2F, а вершина изображения находится ниже оси, поэтому изображение перевёрнуто. Высота получившегося отрезка меньше высоты предмета.

Ответ. Изображение расположено между F и 2F за линзой, оно действительное, перевёрнутое и уменьшенное. Его можно получить на экране, поставленном в плоскости изображения. Вывод согласуется со строкой таблицы для предмета дальше 2F.

Предмет между F и 2F

Условие. Предмет стоит между фокусом и точкой 2F перед собирающей линзой. Нужно построить изображение и сравнить его с предметом. Сравнение выполним по расположению, ориентации и высоте изображения.

1. Отметим O, фокус F и точку 2F, после чего обозначим вершину предмета буквой A. Из A проведём луч параллельно оси и после линзы направим его через фокус на другой стороне. Второй луч проведём из A через O прямо.

2. Продлим построения до пересечения лучей за линзой. Точка пересечения окажется дальше 2F: это следует из того, что предмет расположен ближе к линзе, чем 2F, но дальше F. Основание изображения лежит на оси, а его вершина — по другую сторону оси от A.

3. Сравним высоты предмета и изображения, измеряя их от главной оси. Полученный отрезок изображения выше предмета, следовательно, изображение увеличенное. Поскольку пересеклись сами лучи, оно действительное, а положение вершины ниже оси означает, что оно перевёрнуто.

Ответ. Изображение находится за точкой 2F, оно действительное, перевёрнутое и увеличенное. По сравнению с предметом оно больше и ориентировано противоположно. При правильном построении лучи от одной точки предмета сходятся в одной точке изображения.

Предмет между линзой и фокусом. Лупа

Условие. Предмет размещён между собирающей линзой и её фокусом. Требуется построить изображение, а затем объяснить, почему такой режим используют в лупе. В этом случае лучи после линзы расходятся и не дают действительного пересечения.

1. От вершины предмета A проведём луч через оптический центр O, не меняя его направления. Второй луч направим параллельно главной оси; после линзы он пойдёт через фокус на противоположной стороне. Поскольку предмет ближе к линзе, чем фокус, эти преломлённые лучи за линзой расходятся.

2. Продолжим оба луча назад, к предмету, штриховыми линиями. Их пересечение обозначит вершину мнимого изображения; основание находится на оси. Точка пересечения лежит со стороны предмета, выше оси, а расстояние от оси до вершины больше, чем у самого предмета.

3. Лупу держат так, чтобы рассматриваемый предмет находился между линзой и фокусом. Глаз воспринимает лучи как расходящиеся из точки их мысленного пересечения, поэтому видит прямое увеличенное изображение. Штриховые продолжения показывают место изображения, но сами лучи там не сходятся.

Ответ. Изображение мнимое, прямое и увеличенное, оно расположено со стороны предмета. Лупа позволяет рассматривать детали крупнее именно при положении предмета внутри фокусного расстояния. Такое изображение нельзя получить на экране.

Типичные ошибки

• Проводят через оптический центр луч с изменением направления. Так происходит, когда забывают приближение тонкой линзы и пытаются показать преломление на каждой поверхности отдельно. Проверьте себя: луч через O должен оставаться одной прямой по обе стороны линзы.

• После собирающей линзы оставляют параллельный оси луч параллельным. Ошибка возникает, если смешать правило для луча через фокус с правилом для параллельного луча. Проверьте направление: параллельный луч после собирающей линзы должен пройти через фокус на другой стороне.

• При построении мнимого изображения продолжают назад реальные лучи вместо преломлённых. Так путают направление света с продолжением, по которому глаз мысленно находит источник лучей. Проверьте себя: сплошными линиями показывайте действительный ход света, а штриховыми — продолжения назад до точки их пересечения.

• Путают положение изображения для предмета между F и 2F и предмета дальше 2F. Обычно причина в том, что точки F и 2F не отмечены заранее или отсчёт ведут не от линзы. Проверьте шкалу на оси: между F и 2F предмет даёт изображение дальше 2F, а предмет дальше 2F — изображение между F и 2F.

Связь с другими темами

Для построений нужны знания о линзах, оптической оси, фокусе и фокусном расстоянии, а также умение показывать ход световых лучей при отражении и преломлении. Эти навыки помогают перейти от чертежа к формуле тонкой линзы и вычислению увеличения. Там положение и размер изображения можно находить не только графически, но и расчётом.

Построения объясняют работу оптических приборов. В глазу изображение формируется на сетчатке, лупа создаёт увеличенное мнимое изображение, а фотоаппарат получает действительное изображение на светочувствительной поверхности. В микроскопе и телескопе линзы последовательно изменяют лучи, чтобы наблюдать мелкие или удалённые объекты.

Что запомнить

• Луч через оптический центр тонкой линзы считают не изменяющим направления.

• Параллельный главной оси луч после собирающей линзы проходит через фокус.

• После рассеивающей линзы параллельный луч расходится так, будто вышел из фокуса.

• Действительное изображение образуется пересечением самих преломлённых лучей.

• Мнимое изображение находят по пересечению продолжений преломлённых лучей.

• У собирающей линзы свойства изображения зависят от положения предмета относительно F и 2F.

• Рассеивающая линза даёт мнимое, прямое и уменьшенное изображение.