3. Зависимость координаты колеблющегося тела от времени

Определения и обозначения

Гармонические колебания — колебания, при которых координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Такая модель подходит для многих колебательных движений, если отклонения от положения равновесия невелики. Она позволяет вычислить координату тела для любого момента времени. Поэтому важно научиться читать параметры соответствующей формулы.

Амплитуда колебаний — наибольшее по модулю отклонение тела от положения равновесия; её обозначают A. Если координату отсчитывают от равновесия, тело движется в пределах от −A до +A. Амплитуда показывает, насколько далеко тело отходит от равновесия. Её не следует путать с расстоянием между крайними положениями.

Период колебаний — время одного полного колебания, обозначаемое T. За этот промежуток тело проходит полный цикл и возвращается в то же состояние движения. Период измеряется в секундах. Он помогает сравнивать, насколько быстро совершаются колебания.

Фаза колебаний задаёт состояние колебательной системы в данный момент времени. В законе синусоидального движения она стоит в аргументе синуса или косинуса, например ωt + φ₀. Фаза показывает, на каком этапе цикла находится тело, и позволяет учесть начальные условия. Её измеряют в радианах.

Как это устроено

Положение тела при гармонических колебаниях записывают формулой x(t) = A cos(ωt + φ₀). Здесь x(t) — координата в момент t, A — амплитуда, ω — циклическая частота, а φ₀ — начальная фаза. Косинус всегда принимает значения от −1 до +1, поэтому координата не выходит за границы −A и +A. Изменяя время, мы изменяем аргумент косинуса и тем самым получаем координату тела на каждом этапе движения.

Координата повторяется, потому что значения синуса и косинуса повторяются при увеличении аргумента на 2π. При гармонических колебаниях за один и тот же временной промежуток тело проходит одинаковый цикл. Время, за которое фаза увеличивается на 2π, называют периодом T. Через T повторяются не только координата, но и направление движения, поэтому для полного повторения состояния недостаточно просто снова оказаться в той же точке.

Частота ν показывает число полных колебаний за единицу времени, поэтому ν = 1/T. Циклическая частота ω показывает, насколько быстро изменяется фаза, и связана с обычной частотой формулой ω = 2πν = 2π/T. За время T фаза меняется на ωT, а подстановка ω = 2π/T даёт ωT = 2π. Отсюда следует, что коэффициент при времени в аргументе формулы — циклическая частота, а не частота ν.

Начальная фаза φ₀ определяет положение тела и направление его движения в момент t = 0. При выбранной косинусной форме x(0) = A cos φ₀, а скорость выражается как v(t) = −Aω sin(ωt + φ₀). Поэтому начальная координата задаёт косинус фазы, а направление движения — знак скорости и синус фазы. Например, при прохождении равновесия в сторону положительных координат удобно взять φ₀ = −π/2: тогда x(0) = 0, а v(0) > 0.

На графике координаты амплитуду находят по максимальному расстоянию кривой от положения равновесия, а период — по времени между соседними максимумами или другими одинаковыми состояниями движения. Чтобы найти начальную фазу, сначала смотрят на координату при t = 0, затем определяют по наклону графика, растёт координата или убывает. Эти данные позволяют выбрать φ₀ в законе x(t) = A cos(ωt + φ₀). Без значений графика нельзя указать численные A и T, но способ их определения остаётся тем же.

Величины, описывающие гармонические колебания

Сначала определите, какая величина известна и какую нужно найти, затем выберите соответствующую связь из таблицы. Если задана формула координаты, коэффициент перед косинусом обычно задаёт A, а коэффициент при времени в аргументе — ω. Проверяйте единицы: период измеряется в секундах, частота — в герцах, а циклическая частота — в радианах в секунду.

Разбор задач

Амплитуда и период по формуле

Координата тела задана формулой x(t) = 0,08 cos(4πt). Нужно найти амплитуду и период колебаний. Сравним запись с законом x(t) = A cos(ωt + φ₀): так мы отдельно определим множитель перед косинусом и скорость изменения его аргумента. В этой формуле начальная фаза равна нулю.

1. Сопоставляем множители: A = 0,08 м, ω = 4π рад/с.
2. Используем связь T = 2π/ω, поскольку за период фаза изменяется на 2π.
3. Подставляем: T = 2π/(4π) = 0,5 с.

Ответ: амплитуда равна 0,08 м, период — 0,5 с. Проверка: за секунду укладываются два периода, значит частота равна 2 Гц, а ω = 2πν = 4π рад/с, как и в условии.

Закон по начальным условиям

Амплитуда равна 6 см, период — 0,4 с. В начальный момент тело проходит положение равновесия в сторону положительных координат. Требуется записать закон x(t), поэтому сперва найдём циклическую частоту, а затем выберем фазу, которая даёт нужные координату и направление движения. Используем косинусную форму x(t) = A cos(ωt + φ₀).

1. Переводим амплитуду в СИ: A = 0,06 м.
2. Находим ω = 2π/T = 2π/0,4 = 5π рад/с.
3. При t = 0 координата равна нулю, значит cos φ₀ = 0; чтобы скорость была положительной, выбираем φ₀ = −π/2.
4. Записываем x(t) = 0,06 cos(5πt − π/2), что равносильно x(t) = 0,06 sin(5πt).

Ответ: x(t) = 0,06 sin(5πt) м. Проверка начального условия даёт x(0) = 0, а производная этой функции при t = 0 положительна, значит тело движется в сторону положительных координат.

Параметры по графику

По графику координаты от времени нужно определить амплитуду, период и частоту, а затем записать закон колебаний, если при t = 0 тело проходит равновесие в сторону отрицательных координат. Численные значения A и T получают непосредственно с графика: первое — по высоте крайних точек относительно равновесия, второе — по расстоянию между одинаковыми состояниями. Поскольку конкретные отметки графика здесь не заданы, обозначим считанные значения буквами A и T. Это позволяет записать закон, не приписывая графику отсутствующие числовые данные.

1. Считываем амплитуду A по модулю максимальной координаты.
2. Считываем период T по времени между соседними максимумами и находим частоту ν = 1/T.
3. Вычисляем ω = 2π/T.
4. При прохождении равновесия в сторону отрицательных координат выбираем фазу φ₀ = π/2. Закон будет x(t) = A cos(ωt + π/2) = −A sin(ωt).

Ответ: амплитуда и период равны считанным с графика значениям A и T, частота ν = 1/T, закон — x(t) = −A sin(2πt/T). Знак минус обеспечивает движение в сторону отрицательных координат сразу после t = 0. Если по графику известны численные A и T, их подставляют в эту формулу.

Типичные ошибки

Амплитуду путают с размахом колебаний и записывают расстояние между крайними точками как A. Так происходит, потому что оба значения связаны с крайними положениями тела. Но амплитуда отсчитывается от равновесия до одного края, а размах равен 2A. Проверка: если крайние координаты равны −A и +A, расстояние между ними должно быть вдвое больше амплитуды.

Коэффициент при времени в аргументе синуса или косинуса иногда принимают за частоту ν. Путаница возникает потому, что обе величины характеризуют быстроту колебаний, но в формуле координаты стоит циклическая частота ω. Между ними есть множитель 2π: ω = 2πν. Проверить себя можно по единицам и по формуле периода T = 2π/ω.

Некоторые считают, что при t = 0 тело обязательно находится либо в равновесии, либо в крайнем положении. Такое предположение обычно появляется, если в формуле не учесть начальную фазу. На деле φ₀ может задавать любое начальное положение в пределах от −A до +A. Проверка проста: подставьте t = 0 в закон и сравните полученную координату с условием.

Начальную фазу выбирают только по начальной координате и забывают учесть направление движения. В равновесии, например, тело может двигаться в любую сторону, поэтому одной координаты недостаточно. Нужно также определить знак скорости: для косинусной формы v(t) = −Aω sin(ωt + φ₀). Проверив и координату, и знак скорости, можно выбрать согласованную фазу.

Связь с другими темами

Для изучения колебаний пригодятся понятия периодического движения и координаты тела. Нужно также уметь читать графики зависимости величин от времени: это помогает определять амплитуду, период и начальные условия. Если забыть, как находить значения по осям графика, параметры колебаний нельзя будет считать правильно.

Связи ν = 1/T и ω = 2π/T понадобятся при изучении математического и пружинного маятников. В этих темах период и частота связываются с параметрами системы, а закон координаты помогает описывать её движение. Поэтому полезно различать частоту и циклическую частоту уже сейчас.

Закон координаты во времени служит основой для определения скорости и ускорения колеблющегося тела. Скорость показывает, как быстро меняется координата, а ускорение — как быстро меняется скорость. Если известна зависимость x(t), эти величины можно найти математически.

Что запомнить

• При гармонических колебаниях координата меняется по закону синуса или косинуса.
• Амплитуда — максимальное отклонение от положения равновесия.
• За один период координата и состояние движения повторяются.
• Частота равна ν = 1/T.
• Циклическая частота равна ω = 2π/T.
• Начальная фаза задаёт состояние колебаний при t = 0.