3. Зависимость координаты колеблющегося тела от времени

Определения и обозначения

Гармонические колебания — колебания, при которых координата тела изменяется по закону синуса или косинуса времени. Иными словами, движение повторяется, а график координаты имеет форму волны. Такое описание подходит для многих колебательных систем и позволяет вычислять положение тела в любой момент.

Амплитуда колебаний A — максимальное по модулю отклонение тела от положения равновесия. Она показывает, насколько далеко тело отходит от середины колебания, и не бывает отрицательной. Амплитуда нужна, чтобы задать размах движения: крайние координаты относительно равновесия равны A и −A.

Период колебаний T — время одного полного колебания, после которого движение повторяется. За этот промежуток тело возвращается не просто в ту же точку, а в то же состояние движения. Зная период, можно определить, как часто повторяются колебания.

Циклическая частота ω и начальная фаза φ₀ — параметры, определяющие скорость изменения колебаний и координату тела в начальный момент. Циклическая частота показывает, насколько быстро меняется фаза, а начальная фаза задаёт положение колебания на временной шкале при t = 0. Эти величины вместе с амплитудой полностью задают закон движения.

Как это устроено

Координату удобно отсчитывать от положения равновесия, потому что тогда отклонение в одну сторону имеет знак плюс, а в другую — минус. Положение равновесия становится нулём, и крайние точки симметричного колебания получают координаты A и −A. Если выбрать противоположное направление оси, знак координат поменяется, но само движение останется прежним.

При гармонических колебаниях координата меняется плавно и периодически, как синус или косинус, поэтому закон записывают в виде x(t) = A cos(ωt + φ₀) или x(t) = A sin(ωt + φ₀). Косинус и синус отличаются сдвигом начала отсчёта фазы, а значит, обе записи могут описывать одно движение. Фаза ωt + φ₀ указывает, на каком этапе цикла находится тело.

Амплитуда определяет вертикальный размах графика: координата остаётся между −A и A. Период задаёт горизонтальный интервал, через который график повторяется; например, два соседних максимума разделены временем T. Чем больше период, тем медленнее меняется координата, а форма графика по-прежнему остаётся синусоидальной.

Аргумент синуса или косинуса должен быть безразмерным, поэтому произведение ωt измеряется в радианах как число, а не как величина с единицей. За один период функция должна вернуться к прежнему значению и пройти полный цикл, то есть её аргумент изменяется на 2π. Отсюда ωT = 2π, а с учётом ν = 1/T получаем ω = 2π/T = 2πν.

Чтобы выбрать начальную фазу, сначала учитывают координату при t = 0, а затем направление движения. Например, в крайнем положении x = A удобно начать с косинуса и взять φ₀ = 0; если тело затем движется к равновесию, такая запись подходит. Если известна только координата, остаются два возможных направления движения, поэтому начальных данных недостаточно для однозначного выбора фазы.

Параметры зависимости координаты от времени

Сначала сопоставьте известные данные с обозначениями: расстояния — с A или x, время повторения — с T, число колебаний — с ν. Затем используйте связи между периодом и частотой, чтобы найти недостающий параметр. Наконец, подставьте значения в закон координаты, учитывая начальную фазу.

Разбор задач

Задача 1

По закону движения x(t) = 0,06 cos(πt + π/3) определите амплитуду, период, частоту и координату тела в момент t = 1 с. Сравним запись с общей формулой x(t) = A cos(ωt + φ₀). Так мы сразу выделим параметры, а для координаты подставим заданное время.

1. Амплитуда равна коэффициенту перед косинусом: A = 0,06 м.
2. Из аргумента следует ω = π рад/с, поэтому T = 2π/ω = 2 с, а ν = 1/T = 0,5 Гц.
3. Подставим t = 1 с: x(1) = 0,06 cos(π + π/3) = 0,06 cos(4π/3) = −0,03 м.

Ответ: A = 0,06 м, T = 2 с, ν = 0,5 Гц, x(1 с) = −0,03 м. Отрицательная координата означает, что в этот момент тело находится по другую сторону положения равновесия относительно выбранной оси. Начальная фаза здесь равна π/3, но для вычислений она уже учтена в аргументе косинуса.

Задача 2

Тело совершает гармонические колебания с амплитудой 4 см и периодом 2 с. В начальный момент оно находится в положении x = 4 см и начинает двигаться в сторону уменьшения координаты. Нужно записать x(t). Поскольку начальное положение — крайнее, удобно использовать косинус, но направление движения тоже следует проверить.

1. Циклическая частота ω = 2π/T = 2π/2 = π рад/с.
2. При t = 0 координата должна быть равна A, значит, в записи с косинусом φ₀ = 0: cos 0 = 1.
3. Закон движения: x(t) = 4 cos(πt) см. Сразу после t = 0 косинус уменьшается, поэтому координата тоже уменьшается, как требуется.

Ответ: x(t) = 4 cos(πt) см. Проверка начального условия даёт x(0) = 4 см, а период равен 2 с. Если координату записывать в метрах, формула будет x(t) = 0,04 cos(πt) м.

Задача 3

По графику зависимости координаты от времени нужно определить амплитуду, период, частоту и скорость изменения координаты в заданный момент. Для иллюстрации возьмём график x(t) = 0,04 cos(πt) и найдём скорость в момент t = 0,5 с. Сначала считываем параметры графика, затем строим закон и определяем наклон кривой в нужной точке.

1. Максимальное отклонение графика равно 0,04 м, следовательно, A = 0,04 м.
2. Соседние максимумы разделены 2 с: T = 2 с, а частота ν = 1/T = 0,5 Гц.
3. По началу графика видно, что тело при t = 0 находится в точке x = A, поэтому подходит закон x(t) = 0,04 cos(πt).
4. В момент t = 0,5 с график проходит равновесие и наклонён вниз, значит, координата уменьшается. Скорость v = −0,04π sin(πt), поэтому v(0,5 с) = −0,04π м/с ≈ −0,126 м/с.

Ответ: A = 0,04 м, T = 2 с, ν = 0,5 Гц, закон движения x(t) = 0,04 cos(πt), скорость при t = 0,5 с приблизительно −0,126 м/с. Минус показывает движение в сторону уменьшения координаты. Скорость в этой задаче находим по наклону графика в выбранной точке.

Типичные ошибки

Амплитуду путают с размахом колебаний: размах равен расстоянию между крайними положениями и составляет 2A. Ошибка возникает, когда считают расстояние от одного края до другого отклонением от равновесия. Проверьте себя: если крайние координаты равны −A и A, их разность равна 2A.

Периодом иногда считают время от положения равновесия до крайнего положения. При гармоническом движении это четверть периода, потому что до полного повторения состояния телу нужно пройти ещё три такие части. Чтобы проверить ответ, сравните два одинаковых состояния, например два последовательных максимума.

Запись ω = 1/T неверна: так частоту ν ошибочно принимают за циклическую частоту. Путаница появляется из-за того, что обе величины связаны с периодом. Вспомните, что за T аргумент функции проходит 2π, поэтому нужно использовать ω = 2π/T.

Начальную фазу выбирают только по координате и не учитывают направление движения. Одна и та же координата, кроме крайних положений, обычно встречается дважды за период — при движении в разные стороны. Проверьте знак изменения координаты в начале: его можно определить по направлению движения или по наклону графика.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны знания о синусе и косинусе, их периодичности, единицах времени и длины, а также о координате и положении равновесия. Закон координаты становится отправной точкой для изучения скорости и ускорения при гармонических колебаниях: их находят, исследуя изменение x(t). Та же зависимость применяется при описании пружинного и математического маятников, волн и переменного тока.

Что запомнить

• При гармонических колебаниях координата изменяется по синусоидальному закону.
• Общий вид закона движения: x(t) = A cos(ωt + φ₀).
• Амплитуда A — максимальное отклонение от положения равновесия.
• Период T — время одного полного повторения движения.
• Связи между параметрами: ν = 1/T и ω = 2πν = 2π/T.
• Начальная фаза определяется состоянием тела в момент t = 0.
• По графику x(t) можно определить амплитуду, период и направление движения.