§ 16. Перезарядка конденсатора

Определения и обозначения

Перезарядка конденсатора — изменение его заряда при переходе заряда с одной обкладки на другую через катушку; в результате полярность меняется. Это не просто уменьшение заряда до нуля: после разрядки конденсатор получает заряд противоположного знака.

Колебательный контур — замкнутая электрическая цепь, состоящая из конденсатора и катушки индуктивности. Конденсатор запасает энергию электрического поля, а катушка — энергию магнитного поля, поэтому в контуре возможен их обмен.

Свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, напряжения и силы тока после того, как контур вывели из равновесия и предоставили самому себе. Они возникают без постоянного внешнего источника, поскольку энергия уже была сообщена конденсатору или катушке.

Период собственных колебаний — время, за которое состояние идеального контура полностью повторяется. Его обозначают T; период определяется ёмкостью конденсатора C и индуктивностью катушки L.

Как это устроено

Сначала заряженный конденсатор подключают к катушке, и в цепи появляется напряжение. Под действием электрического поля начинается движение зарядов, то есть возникает ток. Нарастание тока создаёт вокруг катушки магнитное поле, поэтому часть энергии конденсатора постепенно запасается в этом поле.

Когда заряд конденсатора становится равным нулю, его электрическое поле исчезает, но ток не прекращается. Катушка препятствует мгновенному изменению силы тока: возникающее при ослаблении магнитного поля напряжение поддерживает движение зарядов. Поэтому ток продолжает переносить заряды на обкладки уже в противоположном направлении.

Достигнув максимального по модулю обратного заряда, конденсатор останавливает движение зарядов. В этот момент ток равен нулю, потому что вся доступная энергия снова сосредоточена в электрическом поле конденсатора. Затем электрическое поле начинает разряжать конденсатор в обратную сторону, и процесс повторяется.

В идеальном контуре сопротивление отсутствует, поэтому энергия не превращается в тепло. Она переходит из электрической энергии конденсатора в магнитную энергию катушки и обратно. Именно такой периодический обмен вызывает синхронные изменения заряда, напряжения и силы тока.

Для идеального контура период определяется формулой T = 2π√(LC), где C — ёмкость, а L — индуктивность. Увеличение ёмкости означает, что конденсатор способен накопить больше энергии при том же напряжении, а увеличение индуктивности сильнее препятствует изменению тока. Поэтому при росте любой из этих величин колебания становятся медленнее.

Изменение величин и энергии при перезарядке конденсатора

Таблицу удобно читать слева направо: сначала уменьшается заряд, затем ток достигает максимума, после чего конденсатор заряжается с обратной полярностью. В идеальном контуре максимумы электрической и магнитной энергии приходятся на разные моменты.

Разбор задач

Задача 1

Конденсатор ёмкостью 4 мкФ заряжен до напряжения 12 В и подключён к катушке индуктивностью 0,25 Гн. Найдём период собственных колебаний идеального контура. Начальное напряжение здесь не влияет на период: оно определяет амплитуду колебаний.

1. Переведём ёмкость в СИ: C = 4 мкФ = 4 · 10⁻⁶ Ф.
2. Используем формулу T = 2π√(LC). Подставим L = 0,25 Гн: T = 2π√(0,25 · 4 · 10⁻⁶) = 2π · 10⁻³ с.
3. Получаем T ≈ 6,28 · 10⁻³ с = 6,28 мс. Размерность верна: произведение Гн · Ф под корнем даёт секунды в формуле контура.

Ответ: T ≈ 6,28 мс.

Задача 2

Максимальный заряд равен 6 мкКл, период — 8 мс. Через 2 мс после максимального заряда прошло T/4, то есть четверть периода. Поэтому заряд стал нулевым, а ток достиг максимума: q = 0, I = ωqₘₐₓ.

1. Угловая частота ω = 2π/T = 2π/0,008 ≈ 785 рад/с.
2. Максимальная сила тока I = 785 · 6 · 10⁻⁶ ≈ 4,71 · 10⁻³ А.

Ответ: q = 0, I ≈ 4,7 мА по выбранному направлению тока.

Задача 3

Ёмкость конденсатора 2 мкФ, напряжение 10 В, индуктивность катушки 0,5 Гн. В начале энергия находится в конденсаторе, а в момент максимального тока — в катушке. Приравняем эти энергии и найдём ток.

1. Из закона сохранения энергии: ½CU² = ½LIₘₐₓ².
2. Отсюда Iₘₐₓ = U√(C/L) = 10√(2 · 10⁻⁶/0,5) = 0,02 А.
3. При максимальном токе заряд конденсатора равен нулю, поэтому напряжение на нём также равно нулю.

Ответ: Iₘₐₓ = 20 мА, U = 0 В.

Типичные ошибки

Считать, что ток прекращается при полном разряде. Ошибка возникает из-за сравнения катушки с обычным проводником без индуктивности. Магнитное поле не даёт току исчезнуть мгновенно, поэтому нужно помнить: при нулевом заряде ток максимален.

Путать перезарядку с обычной разрядкой. При разрядке заряд лишь уменьшается до нуля, а при перезарядке затем меняет знак. Проверка проста: сравните полярность обкладок в начале и в конце процесса.

Считать, что максимальные заряд и ток достигаются одновременно. Эти величины сдвинуты по фазе на четверть периода. В крайних состояниях при максимальном заряде ток равен нулю, а при нулевом заряде достигает максимума.

Применять сохранение энергии к реальной цепи без оговорки. Сопротивление проводов и катушки превращает часть энергии в тепло, поэтому колебания затухают. Если в условии сказано «идеальный контур», потери не учитывают.

Связь с другими темами

Для понимания перезарядки нужны связь заряда, напряжения и ёмкости конденсатора, а также определение силы тока. Обмен энергией объясняется через электрическое поле конденсатора и магнитное поле катушки.

Тема служит основой для изучения электромагнитных колебаний, колебательного контура и переменного тока. Позже те же идеи помогут понять фазовые сдвиги и работу резонансных цепей.

Что запомнить

• Перезарядка конденсатора происходит в контуре с катушкой индуктивности.
• После перезарядки полярность конденсатора меняется на противоположную.
• Ток максимален, когда заряд конденсатора равен нулю.
• При максимальном по модулю заряде ток равен нулю.
• В идеальном контуре электрическая и магнитная энергии периодически переходят друг в друга.
• Период собственных колебаний определяется ёмкостью конденсатора и индуктивностью катушки.