"Физика (базовый и углублённый уровни)", Грачёв А.В., Погожев В.А., Салецкий А.М., Боков П.Ю.
Закон сложения скоростей в специальной теории относительности позволяет найти скорость тела в одной инерциальной системе, если известна его скорость в другой. Он нужен при описании частиц и аппаратов, движущихся быстро, когда классическое сложение даёт неверный результат. Главное: скорости вдоль одной прямой складывают с учётом направления по формуле u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²), и итоговая скорость не превышает скорость света.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Системой отсчёта называют тело отсчёта, связанную с ним систему координат и способ измерять время. В задаче одну систему принимают за неподвижную, а другую считают движущейся относительно неё со скоростью v. Это условный выбор: он нужен, чтобы точно указать, относительно чего измеряется движение.
Скорость тела относительно движущейся системы обозначают u′, а относительно неподвижной — u. Скорость показывает, как быстро и в каком направлении меняется положение тела относительно выбранной системы. При движении вдоль одной прямой направления учитывают знаками, поэтому u и u′ — алгебраические величины, а не только модули.
Релятивистский закон сложения скоростей для движения вдоль одной прямой записывается так: u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²). Здесь u′ — скорость тела в движущейся системе, v — скорость этой системы относительно неподвижной, а u — скорость тела относительно неподвижной системы. Формула позволяет перевести измеренную скорость из одной системы отсчёта в другую.
Скорость света в вакууме обозначают c; она является предельной скоростью передачи взаимодействий и сигналов. Закон сложения устроен так, что значение c сохраняется при переходе между инерциальными системами. Поэтому выражение в формуле не означает, что скорости света и системы можно просто прибавить.
В классической механике движение тела рассматривают как последовательное перемещение вместе с системой и относительно неё, поэтому скорости складываются по правилу u = u′ + v. Для медленных тел это работает очень точно, ведь время в повседневных условиях можно считать одинаковым в разных системах. Но при скоростях, близких к c, такое сложение может дать результат больше скорости света, что противоречит СТО.
В специальной теории относительности координаты и время связаны преобразованиями Лоренца. Это означает, что наблюдатели, движущиеся друг относительно друга, по-разному измеряют не только положение тела, но и промежутки времени. Если подставить эти преобразования в определение скорости — отношение изменения координаты к изменению времени, — получается релятивистский закон сложения.
Формула применяется к движению вдоль одной прямой, поэтому направления удобно обозначать знаками. Выберите одно направление положительным: скорость туда будет положительной, а скорость в обратную сторону — отрицательной. Такой способ важен, потому что в числителе складываются именно алгебраические значения, а не модули скоростей.
Если система и тело движутся в одну сторону, u′ и v имеют одинаковые знаки. При выборе обоих направлений положительными знаменатель 1 + u′v/c² больше единицы, поэтому результат меньше классической суммы u′ + v. При встречном движении одна скорость получает отрицательный знак, и формула сама учитывает, что скорости направлены навстречу друг другу.
Проверить смысл закона можно для света: если u′ = c, то u = (c + v)/(1 + v/c) = c. Скорость света не меняется при переходе между инерциальными системами, даже если источник движется. Аналогично, сложение двух скоростей, каждая из которых меньше c, не приводит к превышению c: знаменатель релятивистской формулы учитывает связь измерений пространства и времени.
| Свойство | Классическая механика | Специальная теория относительности |
|---|---|---|
| Закон сложения скоростей | u = u′ + v | u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²) |
| Учёт направления движения | Для движения по прямой используют знаки скоростей | Скорости также подставляют со знаками |
| Результат при скоростях, близких к скорости света | Может оказаться больше c | Не превышает c |
| Сложение скорости света со скоростью системы | По классическому правилу получилось бы c + v | Скорость света остаётся равной c |
| Условие применимости | Скорости намного меньше c | Инерциальные системы; применимо и при больших скоростях |
Сравнивайте прежде всего формулы и условие применимости: классическое правило — приближение для медленных движений, а формула СТО учитывает релятивистские эффекты. Для каждой задачи сначала определите направления и знаки скоростей. Затем выберите закон: если скорости близки к c, используйте релятивистский.
Задача 1. Поезд движется со скоростью 20 м/с, пассажир идёт вперёд по вагону со скоростью 2 м/с относительно вагона. Найдём скорость пассажира относительно Земли по классическому правилу и по формуле СТО. Положительное направление выберем по ходу поезда, поэтому обе скорости положительны.
Задача 2. Аппарат движется относительно Земли со скоростью 0,6c, а зонд запускают из него в том же направлении со скоростью 0,5c относительно аппарата. Обе скорости положительны, поскольку направлены вдоль выбранного направления движения аппарата. Нужно найти скорость зонда относительно Земли и проверить, меньше ли она c.
Задача 3. Аппарат удаляется от Земли со скоростью 0,8c, а зонд запускают к Земле со скоростью 0,7c относительно аппарата. Положительным выберем направление удаления аппарата от Земли. Поэтому скорость аппарата положительна, а скорость зонда относительно аппарата отрицательна.
Первая ошибка — складывать модули скоростей, не учитывая направление. Её допускают, когда слова «навстречу» или «назад» не переводят в знаки; в результате скорость может получить неверную величину или направление. Проверьте выбор положительной оси и запишите знаковые значения до подстановки.
Вторая ошибка — использовать u = u′ + v при скоростях, близких к c. Классическая формула удобна в повседневных задачах, поэтому её иногда переносят на релятивистские случаи. Сравните скорости с c: если они велики относительно c, используйте формулу СТО, а для малых скоростей считайте классическое правило приближением.
Третья ошибка — забыть знаменатель 1 + u′v/c² или неверно указать в нём знак. Тогда вычисление уже не соответствует релятивистскому закону и способно дать результат больше c. Проверьте, что произведение u′v составлено из тех же знаковых скоростей, что и числитель, а знаменатель не потерян.
Четвёртая ошибка — считать, что свет от движущегося источника имеет скорость c плюс скорость источника. Такое представление возникает из привычного классического сложения, но противоречит постулату СТО о скорости света. Проверка простая: при u′ = c формула должна дать u = c для любого инерциального наблюдателя.
Чтобы применять закон, нужно уметь находить скорость и понимать, что она задаётся относительно выбранной системы отсчёта. Также необходимы понятие инерциальной системы — системы, в которой выполняется закон инерции, — и навык работы со знаковыми величинами. Эти знания помогают корректно выбрать направления и не путать скорость тела со скоростью системы.
Закон опирается на преобразования Лоренца и постулаты специальной теории относительности, в частности на постоянство скорости света. Его используют, когда анализируют движение частиц и космических аппаратов с большими скоростями. Для медленных объектов достаточно классического приближения, но при околосветовом движении нужна релятивистская формула.
Почему в СТО нельзя просто складывать скорости?
При больших скоростях классическое правило u = u′ + v может дать значение больше скорости света. В СТО преобразуются не только координаты, но и время, поэтому получается формула с дополнительным знаменателем.
Как выбрать знаки скоростей в формуле?
Сначала выберите положительное направление вдоль прямой. Скорость, направленную туда, запишите со знаком плюс, а противоположную — со знаком минус; затем подставьте знаковые значения u′ и v.
Может ли результат сложения скоростей оказаться больше скорости света?
Нет, если исходные скорости по модулю меньше c и используется релятивистская формула. Она устроена так, что итоговая скорость остаётся меньше c.
Что получится, если скорость тела относительно системы равна скорости света?
Если u′ = c, то после подстановки в формулу получается u = c. Поэтому любой инерциальный наблюдатель измерит для света в вакууме одну и ту же скорость.
Когда можно пользоваться классическим законом сложения скоростей?
Когда обе скорости намного меньше скорости света, произведение u′v/c² пренебрежимо мало. Тогда знаменатель близок к единице, а релятивистская формула приближённо превращается в u ≈ u′ + v.
§ 65. Закон сложения скоростей в СТО
